Μια απλή!

bboybast · #1

Αν

ακέραιοι τέτοιοι ώστε να ισχύει $\frac{x}{2012x+3}=\frac{y}{2012y+5}=\frac{z}{2012z+7}$
και ο αριθμός x^2+y^2+z^2

είναι διαιρέτης του 747

,να βρεθούν οι x,y,z

.

#2

Η συνθήκη γράφεται

$\displaystyle{\frac{2012x+3}{x}=\frac{2012y+5}{y}=\frac{2012z+7}{z}\implies \frac{3}{x}=\frac{5}{y}=\frac{7}{z}.}$

Θέτοντας

$\displaystyle{\frac{1}{a}=\frac{3}{x}=\frac{5}{y}=\frac{7}{z},}$ είναι $\displaystyle{x=3a,y=5a,z=7a,}$ οπότε

$\displaystyle{x^2+y^2+z^2=83a^2}$ και επειδή $\displaystyle{x^2+y^2+z^2}$ είναι διαιρέτης του $\displaystyle{747}$ υπάρχει $\displaystyle{k\in \mathbb{Z}}$ ώστε

$\displaystyle{83a^2k=747\implies ka^2=9\implies (k=1 \wedge a=\pm 3)\vee k=9 \wedge a=\pm1.}$

Επομένως, είναι

$\displaystyle{(x,y,z)=(9,15,21)\vee (x,y,z)=(-9,-15,-21), (x,y,z)=(3,5,7),(x,y,z)=(-3,-5,-7).}$

Δεν είχα βάλει τις δύο τελευταίες τριάδες. Ευχαριστώ τον προτείνοντα.

#3

Είναι θέμα του Θαλή της Β Λυκείου 2012 - 2013.

Αλέξανδρος

Μια απλή!

Μια απλή!

Re: Μια απλή!

Re: Μια απλή!

Μέλη σε σύνδεση