Εύκολη ανισότητα

bboybast · #1

Αν

να δειχθεί ότι

$\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}\geq \frac{\sqrt{ab}}{c}+\frac{\sqrt{bc}}{a}+\frac{\sqrt{ca}}{b}$

gavrilos · #2

Το πρώτο μέλος γράφεται $\displaystyle{\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}}$ .

Το δεύτερο μέλος γράφεται $\displaystyle{\frac{ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ca\sqrt{ca}}{abc}}$ .

Επομένως πρέπει ν.δ.ο. $\displaystyle{a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ca\sqrt{ca}}$ .

Πολλαπλασιάζουμε με το $\displaystyle{2}$ και έχουμε $\displaystyle{(a^{3}+b^{3})+(b^{3}+c^{3})+(c^{3}+a^{3})\geq 2ab\sqrt{ab}+2bc\sqrt{bc}+2ca\sqrt{ca}}$ .

$\displaystyle{a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)\geq ab\cdot 2\sqrt{ab}}$ .

$\displaystyle{b^{3}+c^{3}\geq bc(b+c)\geq bc\cdot 2\sqrt{bc}}$ .

$\displaystyle{c^{3}+a^{3}\geq ca(c+a)\geq ca\cdot 2\sqrt{ca}}$ .

Προσθέτουμε κατά μέλη και έχουμε τη ζητούμενη.

bboybast · #3

Ωραίος.

Broly · #4

Διαφορετικά,

$x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx$ ,

$LHS=(\frac{a}{\sqrt{bc}})^2+(\frac{b}{\sqrt{ca}})^2+(\frac{c}{\sqrt{ab}})^2 \geq \frac{ab}{c\sqrt{ab}}+\frac{bc}{a\sqrt{bc}}+\frac{ca}{b\sqrt{ca}}=\frac{\sqrt{ab}}{c}+\frac{\sqrt{bc}}{a}+\frac{\sqrt{ca}}{b}$

Εύκολη ανισότητα

Εύκολη ανισότητα

Re: Εύκολη ανισότητα

Re: Εύκολη ανισότητα

Re: Εύκολη ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση