100 θέματα άλγεβρας

kleovoulos · #21

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
kleovoulos έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 6: Αν $\displaystyle{a=2^{-1}+1 , b=a^{-1}+1}$ , να βρείτε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων:

$\displaystyle{A=a^{2}+4b^{2}}$

$\displaystyle{B=(a+2b)^{2}-4ab}$
Αποφάσισα να το λύσω με τον απλό τρόπο, μιας και ο μαθηματικός μας δεν μας καθοδήγησε από άποψη δυνάμεων, και γι'αυτό το λόγο θα προσπαθήσω να απαντήσω με ότι αυτοδίδακτες γνώσεις έχω.

Ξεκινάω βρίσκοντας την αριθμητική τιμή του α:

$\alpha = {2}^{-1} + 1 \Leftrightarrow \alpha = \frac{1}{{2}^{1}} + 1 \Leftrightarrow \alpha = \frac{1}{2}+ \frac{2}{2} \Leftrightarrow \alpha = \frac{3}{2}$

Αντίστοιχα και η αριθμητική τιμή του β:

$\beta = {\alpha}^{-1} + 1 \Leftrightarrow \beta = \frac{2}{3} + 1 \Leftrightarrow \beta = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} \Leftrightarrow \beta = \frac{5}{3}$

Αργότερα, βρίσκουμε την αριθμητική τιμή του Α:
To 36 είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.

$A= {(\frac{3}{2})}^{2} + 4 {(\frac{5}{3})}^{2} = \frac{9}{4} + 4( \frac{25}{9} ) = \frac{9}{4} + \frac{100}{9} = 36 \frac{9}{4} + 36 \frac{100}{9} = 81 + 400 = 481$

Δυστυχώς δεν κατάφερα να βρώ την αριθμητική τιμή του Β, αλλά με έναν (προφανώς λάθος) προϋπολογισμό βρήκα ότι:

Ελπίζω τουλάχιστον τα 3 προηγούμενα να είναι σωστά. (Είμαι καινούργιος στο φόρουμ και μου αρέσουν πολύ τα μαθηματικά.)
Αγαπητέ φίλε, καλώς ήρθες στο φόρουμ και ΜΠΡΑΒΟ που σου αρέσουν τα μαθηματικά. Από εδώ θα έχεις σίγουρα πολλά πράγματα να μάθεις.

Έτσι, μια πολύ σημαντική γνώση που θα μάθεις σήμερα, είναι η εξής:

Δεν κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών, αν δεν έχουμε εξίσωση (ή μερικές φορές και ανίσωση).

Παράδειγμα, στην παράσταση $\frac{2}{3}+\frac{3}{5}$ , δεν μπορούμε να κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών.
Ξαναπροσπάθησε λοιπόν να λύσεις την άσκηση, με την γνώση αυτή

(Πάντως μην ανησυχείς, και εγώ όταν ήμουν μαθητής Α Γυμνασίου, δεν είχα καταλάβει το πότε κάνουμε απαλοιφή και πότε όχι )

Ναι. Μόλις το διόρθωσα. Αυτό το λάθος κάνω αρκετά.. ΒΙΑΖΟΜΑΙ χαχ!

Μόλις προσπάθησα και το Β

parmenides51 · #22

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 6: Αν $\displaystyle{a=2^{-1}+1 , b=a^{-1}+1}$ , να βρείτε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων:

$\displaystyle{A=a^{2}+4b^{2}}$

$\displaystyle{B=(a+2b)^{2}-4ab}$

Μια εναλλακτική διατύπωση (με χρήση βοηθητικής παράστασης) είναι η παρακάτω

AΣΚΗΣΗ 6: Αν $\displaystyle{a=2^{-1}+1 , b=a^{-1}+1}$ , να βρείτε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων:

$\displaystyle{A=a^{2}+4b^{2}}$

$\displaystyle{c=a+2b}$

$\displaystyle{B=c^{2}-4ab}$

kleovoulos · #23

Ευχαριστώ πολύ παιδιά. Επιτέλους, τα κατάφερα!

Τώρα δε θα το ξεχάσω έτσι εύκολα. Με βάση τη δημοσίευση από πάνω μου, αυτή είναι η σωστή λύση.
$B = {c}^{2} -4ab = {(\frac{3}{2} + 2 \frac{5}{3})}^{2} - 4 (\frac{3}{2} * \frac{5}{3}) = {(\frac{3}{2} + \frac{10}{3})}^{2} - 4 \frac{15}{6} = {(\frac{9}{6} + \frac{20}{6})}^{2} + \frac{60}{6} = {(\frac{29}{6})}^{2} - \frac{60}{6} = \frac{841}{36} - \frac{360}{36} = \frac{481}{36}$
Όπου c=a+2b

Συνεπώς Α = Β.

#24

AΣΚΗΣΗ 8

Ένα γνωστό και ωραίο πρόβλημα): Αν οι μαθητές μιας τάξης καθίσουν ανά

στα θρανία, τότε μένουν άδεια

θρανία. Αν όμως καθίσουν ανά δύο, τότε μένουν όρθιοι

μαθητές.
Πόσοι είναι οι μαθητές της τάξης;

ΑΣΚΗΣΗ 9

Επίσης γνωστό και ωραίο πρόβλημα): Μια βρύση γεμίζει μόνη της ένα δοχείο σε

λεπτά. Μια δεύτερη βρύση, γεμίζει το ίδιο δοχείο σε

λεπτά.Μια τρίτη βρύση, που είναι στη βάση του δοχείου, το αδειάζει (όταν αυτό είναι γεμάτο και οι άλλες βρύσες είναι κλειστές) σε

λεπτά. Αν ανοίξουμε και τις τρεις βρύσες μαζί, να αποδείξετε ότι το δοχείο θα γεμίσει σε χρόνο λιγότερο από 4,5

λεπτά.

kleovoulos · #25

Επαναφορά.

ΑΣΚΗΣΗ 10

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

$[{(-1)}^{10}+{(-1)}^{11}]({2}^{4}-{3}^{2})+\frac{{5}^{12}}{{5}^{10}}-20$

Αυτήν η άσκηση προήλθε από:

Διαγωνισμός ΕΜΕ, Ευκλείδης - 2002

gauss1988 · #26

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 8Ένα γνωστό και ωραίο πρόβλημα): Αν οι μαθητές μιας τάξης καθίσουν ανά στα θρανία, τότε μένουν άδεια θρανία. Αν όμως καθίσουν ανά δύο, τότε μένουν όρθιοι μαθητές.
Πόσοι είναι οι μαθητές της τάξης;

Έστω ότι τα θρανία είναι

. Όταν οι μαθητές καθήσουν ανά

, τότε θα καθίσουν σε y-3

θρανία, (αφού

θρανία είναι άδεια). Άρα οι μαθητές θα είναι $\displaystyle{3(y-3)}$
Όταν οι μαθητές καθίσουν ανά

, τότε θα καθίσουν σε όλα τα θρανία και αφού μένουν και

όρθιοι, άρα όλοι οι μαθητές της τάξης θα είναι $\displaystyle{2y+8}$

Επομένως, έχουμε την εξίσωση: $\displaystyle{3(y-3)=2y+8\Leftrightarrow y=17}$ . Άρα

είναι τα θρανία και οι μαθητές είναι
$\displaystyle{3(17-3)=42}$

gauss1988 · #27

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 9Επίσης γνωστό και ωραίο πρόβλημα): Μια βρύση γεμίζει μόνη της ένα δοχείο σε λεπτά. Μια δεύτερη βρύση, γεμίζει το ίδιο δοχείο σε λεπτά.Μια τρίτη βρύση, που είναι στη βάση του δοχείου, το αδειάζει (όταν αυτό είναι γεμάτο και οι άλλες βρύσες είναι κλειστές) σε λεπτά. Αν ανοίξουμε και τις τρεις βρύσες μαζί, να αποδείξετε ότι το δοχείο θα γεμίσει σε χρόνο λιγότερο από λεπτά.

Σε ένα λεπτό:

Η πρώτη βρύση θα γεμίσει το $\displaystyle{\frac{1}{5}}$ του δοχείου

Η δεύτερη βρύση, το $\displaystyle{\frac{1}{8}}$ του δοχείου.

Ενώ η τρίτη βρύση, θα αδειάσει το $\displaystyle{\frac{1}{10}}$ του δοχείου.

Άρα σε ένα λεπτό, θα έχει γεμίσει (όντας ανοικτές και οι τρεις βρύσες), το $\displaystyle{\frac{1}{5}+\frac{1}{8}-\frac{1}{10}}$ του δοχείου.

Δηλαδή σε ένα λεπτό, θα έχει γεμίσει το $\displaystyle{\frac{9}{40}}$ του δοχείου.

Άρα σε $\displaystyle{\frac{1}{9}}$ του λεπτού, θα έχει γεμίσει το $\displaystyle{\frac{1}{40}}$ του δοχείου.

Συνεπώς τα $\displaystyle{\frac{40}{40}}$ του δοχείου, θα γεμίσουν σε $\displaystyle{\frac{40}{9}}$ λεπτά, δηλαδή σε $\displaystyle{4,44}$ λεπτά, δηλαδή σε χρόνο λιγότερο από 4,5

λεπτά.

panagiotis1998 · #28

ΑΣΚΗΣΗ 11
Να λυθούν οι παρακάτω κλασματικές εξισώσεις
Εικόνα

πηγή: Γ΄ Γυμνασίου 5ο Πανελλήνιο Καλοκαιρινό Μαθηματικό Σχολείο

daphnelg · #29

kleovoulos έγραψε:Επαναφορά.

ΑΣΚΗΣΗ 10

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

$[{(-1)}^{10}+{(-1)}^{11}]({2}^{4}-{3}^{2})+\frac{{5}^{12}}{{5}^{10}}-20$

Αυτήν η άσκηση προήλθε από:

Διαγωνισμός ΕΜΕ, Ευκλείδης - 2002

Αν και την ίδια άσκηση έχουμε λύσει στο αντίστοιχο θέμα...:

$\displaystyle{A =\left [ (- 1)^{10} + (- 1)^{11 }\right] \cdot(2^4-3^2) + 5^{12} : 5^{10} - 20}=(1-1)\cdot(2^4-3^2)+5^{2}-20=25-20=5$

panagiotis1998 έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 11
Να λυθούν οι παρακάτω κλασματικές εξισώσεις

πηγή: Γ΄ Γυμνασίου 5ο Πανελλήνιο Καλοκαιρινό Μαθηματικό Σχολείο

Χμμ... όλες λύνονται πανομοιότυπα. Μόνο η ix) βγαίνει ταυτότητα.

parmenides51 · #30

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 7: Να βρείτε ένα κλάσμα που να είναι μεγαλύτερο από τον αριθμό , και μικρότερο από τον αριθμό

$\displaystyle{2,4=\frac{24}{10}}$

100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Μέλη σε σύνδεση