100 θέματα άλγεβρας

panagiotis1998 · #1

Είχα ξανακάνει το θέμα, αλλά διαγράφηκε λόγω κάποιων λαθών που έκανα. Τώρα το ξαναανανεώνω με σκοπό να βρούμε 100 ασκήσεις άλγεβρας. Ελπίζω οι 100 ασκήσεις να βρεθούν και να πάμε και σε γεωμετρίας έπειτα. Να ευχαριστήσω τον κ.Δημήτρη Κατσιπόδα για την βοήθεια του. Ελπίζω όλοι να βάλουμε από ένα λιθαράκι για να επιτύγχουμε αυτό το στόχο!

Άσκηση 1:
α) $\displaystyle{\frac{x-1}{2}+\frac{x-2}{3}+\frac{x-3}{4}+...+\frac{x-2010}{2011}=\frac{3x-1}{2}+\frac{4x-2}{3}+...+\frac{2012x-2010}{2011}}$

β) $\displaystyle{2x+\frac{3x+2}{2}+\frac{4x+3}{3}+...+\frac{2010x+2009}{2009}=x+\frac{x+2}{2}+\frac{x+3}{3}+...+\frac{x+2009}{2009}}$

γ) $\displaystyle{2x+\frac{3x}{2}+\frac{4x}{3}+...+\frac{101x}{100}=x+\frac{x}{2}+\frac{x}{3}+...+\frac{x}{100}}$

parmenides51 · #2

καλησπέρα
μερικές διευκρινιστικές ερωτήσεις
καλύτερα να ξεκαθαρίσεις ακριβώς τι είδους ασκήσεις θες,
θες ασκήσεις για την τάξη ή ασκήσεις κατάλληλες για διαγωνισμούς;
αν είναι ασκήσεις για διαγωνισμούς, τότε ο κατάλληλος φάκελος είναι εδώ (μάλλον σε ενδιαφέρει αυτό)
και ένα τελευταίο, ζητούνται και οι λύσεις ή απλά οι εκφωνήσεις;
πάντως το εκατό είναι μεγάλο νούμερο για συλλογή (αναλογιζόμενος την πρόσφατη συμμετοχή σε ανάλογες απόπειρες στο Λύκειο)
καλή συνέχεια

panagiotis1998 · #3

parmenides51 έγραψε:καλησπέρα
μερικές διευκρινιστικές ερωτήσεις
καλύτερα να ξεκαθαρίσεις ακριβώς τι είδους ασκήσεις θες,
θες ασκήσεις για την τάξη ή ασκήσεις κατάλληλες για διαγωνισμούς;
αν είναι ασκήσεις για διαγωνισμούς, τότε ο κατάλληλος φάκελος είναι εδώ (μάλλον σε ενδιαφέρει αυτό)
και ένα τελευταίο, ζητούνται και οι λύσεις ή απλά οι εκφωνήσεις;
πάντως το εκατό είναι μεγάλο νούμερο για συλλογή (αναλογιζόμενος την πρόσφατη συμμετοχή σε ανάλογες απόπειρες στο Λύκειο)
καλή συνέχεια

Ευχαριστώ πολύ για το άμεσο ενδιαφέρον φίλε μου. Δεν με πειράζει να είναι από διαγωνισμούς ή επιπέδου βιβλίου. Με νοιάζει να είναι άλγεβρας επιπέδου β΄ γυμνασίου. Δημοσίευσε μια άσκηση αν θες. Δική σου κατά προτίμηση!

parmenides51 · #4

Κατά την γνώμη μου πρέπει κάθε συλλογή να είναι διακριτή, άλλα τα μαθηματικά που απευθύνονται στην σχολική τάξη κι άλλα τα διαγωνιστικά μαθηματικά.
Ας μην τα ανακατεύουμε σε συλλογές γιατί -καλώς ή κακώς- απευθύνονται σε άτομα με διαφορετικούς στόχους κάθε φορά, καλύτερα να μην τα αναμειγνύουμε.
Για τα δεύτερα προσωπικά δεν έχω ασχοληθεί, για τα πρώτα ίσως θα ήταν πιο αρμόδιοι να προτείνουν όσοι δίδαξαν πρόσφατα σε ανάλογες τάξεις.
Το να προτείνω μια άσκηση σαν την $\displaystyle{\frac{3x-2}{6}-\frac{2x-6}{5}+\frac{2x+2}{12}=4x-\frac{3x-7}{3}}$ (που έχω βάλει επανειλημμένα σε μαθητές της τάξης αυτής στο παρελθόν) δεν νομίζω πως κάτι έχει να προσφέρει.
καλή αρχή

panagiotis1998 · #5

parmenides51 έγραψε:Κατά την γνώμη μου πρέπει κάθε συλλογή να είναι διακριτή, άλλα τα μαθηματικά που απευθύνονται στην σχολική τάξη κι άλλα τα διαγωνιστικά μαθηματικά.
Ας μην τα ανακατεύουμε σε συλλογές γιατί -καλώς ή κακώς- απευθύνονται σε άτομα με διαφορετικούς στόχους κάθε φορά, καλύτερα να μην τα αναμειγνύουμε.
Για τα δεύτερα προσωπικά δεν έχω ασχοληθεί, για τα πρώτα ίσως θα ήταν πιο αρμόδιοι να προτείνουν όσοι δίδαξαν πρόσφατα σε ανάλογες τάξεις.
Το να προτείνω μια άσκηση σαν την $\displaystyle{\frac{3x-2}{6}-\frac{2x-6}{5}+\frac{2x+2}{12}=4x-\frac{3x-7}{3}}$ (που έχω βάλει επανειλημμένα σε μαθητές της τάξης αυτής στο παρελθόν) δεν νομίζω πως κάτι έχει να προσφέρει.
καλή αρχή

Τελικά έχεις δίκαιο! Έλεγξε τα μηνύματα σου!

panagiotis1998 · #6

2η άσκηση:
Έχουμε 13 κέρματα των 20 και των 50 λεπτών που κάνουν 5€. Πόσα κέρματα έχουμε από το κάθε είδος;

3η άσκηση:
$\displaystyle{\frac{k}{2}-1\le 0}$ και $\displaystyle{\frac{2k-1}{3}<k}$
Να βρείτε τις κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων!

freyia · #7

panagiotis1998 έγραψε:Άσκηση 1:
α) $\displaystyle{\frac{x-1}{2}+\frac{x-2}{3}+\frac{x-3}{4}+...+\frac{x-2010}{2011}=\frac{3x-1}{2}+\frac{4x-2}{3}+...+\frac{2012x-2010}{2011}}$

Άμα μεταφέρουμε όλα στο δεύτερο μέλος, επειδή έχουμε ανά δύο ομώνυμα κλάσματα, παίρνουμε, (άμα κάνουμε τις αφαιρέσεις)

$\displaystyle{\frac{2x}{2}+\frac{3x}{3}+\frac{4x}{4}+ . . . +\frac{2011x}{2011}=0\Leftrightarrow x+x+ . . . +x=0\Leftrightarrow 2010x=0}$
Επομένως η λύση είναι $\displaystyle{x=0}$

panagiotis1998 · #8

freyia έγραψε:
panagiotis1998 έγραψε:Άσκηση 1:
α) $\displaystyle{\frac{x-1}{2}+\frac{x-2}{3}+\frac{x-3}{4}+...+\frac{x-2010}{2011}=\frac{3x-1}{2}+\frac{4x-2}{3}+...+\frac{2012x-2010}{2011}}$
Άμα μεταφέρουμε όλα στο δεύτερο μέλος, επειδή έχουμε ανά δύο ομώνυμα κλάσματα, παίρνουμε, (άμα κάνουμε τις αφαιρέσεις)

$\displaystyle{\frac{2x}{2}+\frac{3x}{3}+\frac{4x}{4}+ . . . +\frac{2011x}{2011}=0\Leftrightarrow x+x+ . . . +x=0\Leftrightarrow 2010x=0}$
Επομένως η λύση είναι $\displaystyle{x=0}$

Μπράβο! Σωστό!

freyia · #9

panagiotis1998 έγραψε:β) $\displaystyle{2x+\frac{3x+2}{2}+\frac{4x+3}{3}+...+\frac{2010x+2009}{2009}=x+\frac{x+2}{2}+\frac{x+3}{3}+...+\frac{x+2009}{2009}}$

γ) $\displaystyle{2x+\frac{3x}{2}+\frac{4x}{3}+...+\frac{101x}{100}=x+\frac{x}{2}+\frac{x}{3}+...+\frac{x}{100}}$

Οι δύο αυτές εξισώσεις έχουνε ακριβώς τον ίδιο τρόπο λύσης με την (α)

freyia · #10

panagiotis1998 έγραψε:2η άσκηση:
Έχουμε 13 κέρματα των 20 και των 50 λεπτών που κάνουν 5€. Πόσα κέρματα έχουμε από το κάθε είδος;

Άμα ονομάσουμε με $\displaystyle{x}$ τα κέρματα των $\displaystyle{20}$ λεπτών, τότε αυτά των $\displaystyle{50}$ λεπτών είναι $\displaystyle{13-x}$ . ύμφωνα με το πρόβλημα, πρέπει: $\displaystyle{20x+50(13-x)=500\Leftrightarrow x=5}$
Επομένως τα κέρματα των $\displaystyle{20}$ λεπτών είναι $\displaystyle{5}$ και των $\displaystyle{50}$ λεπτών είναι $\displaystyle{8}$ .

freyia · #11

panagiotis1998 έγραψε:3η άσκηση:
$\displaystyle{\frac{k}{2}-1\le 0}$ και $\displaystyle{\frac{2k-1}{3}<k}$
Να βρείτε τις κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων!

Η πρώτη ανίσωση δίνει $\displaystyle{k\leq2}$ και η δεύτερη $\displaystyle{2k-1<3k\Leftrightarrow k>-1}$
Eπειδή ο $\displaystyle{k}$ είναι ακέραιος, τότε $\displaystyle{k=0}$ ή $\displaystyle{k=1}$ ή $\displaystyle{k=2}$ ,

freyia · #12

4η άσκηση: Αν οι εξισώσεις: $\displaystyle{\frac{x-1}{2}-\frac{1-2^{3}}{3}=\frac{4x-2}{3}\left}$ και $\displaystyle{\frac{x}{3}+\frac{a}{4}=\frac{x}{4}+\frac{1}{2}}$ , έχουν την ίδια λύση, να βρεθεί η τιμή του $\displaystyle{a}$ .

#13

Ας βάλω και γω μια απλή άσκηση στ φιλόδοξη προσπάθεια του Παναγιώτη . Αφορά τις ιδιότητες των δυνάμεων.

ΑΣΚΗΣΗ 5

Να γράψετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους παρακάτω αριθμούς :

$\displaystyle{a = {2^{792}}, b = {3^{495}}, c = {6^{297}} }$

Μπάμπης

panagiotis1998 · #14

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Ας βάλω και γω μια απλή άσκηση στ φιλόδοξη προσπάθεια του Παναγιώτη . Αφορά τις ιδιότητες των δυνάμεων.

ΑΣΚΗΣΗ 5

Να γράψετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους παρακάτω αριθμούς :

$\displaystyle{a = {2^{792}}, b = {3^{495}}, c = {6^{297}} }$

Μπάμπης

Ευχαριστώ πολύ κ.Στεργίου. Σε λίγο θα την λύσω!

freyia · #15

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Ας βάλω και γω μια απλή άσκηση στ φιλόδοξη προσπάθεια του Παναγιώτη . Αφορά τις ιδιότητες των δυνάμεων.

ΑΣΚΗΣΗ 5

Να γράψετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους παρακάτω αριθμούς :

$\displaystyle{a = {2^{792}}, b = {3^{495}}, c = {6^{297}} }$

Μπάμπης

$\displaystyle{2^{792} =2^{8.99}}$ , $\displaystyle{3^{495} =3^{5.99}}$ , $\displaystyle{6^{297} =6^{3.99}}$

Επομένως, θα συγκρίνω τους αριθμούς $\displaystyle{2^8 , 3^5 , 6^3}$ , δηλαδή τους $\displaystyle{256 , 243 , 216}$

Συμπέρασμα: Η σειρά που δόθηκαν οι αριθμοί, είναι από τον μεγαλύτερο προς τον μικρότερο.

kleovoulos · #16

freyia έγραψε:4η άσκηση: Αν οι εξισώσεις: $\displaystyle{\frac{x-1}{2}-\frac{1-2^{3}}{3}=\frac{4x-2}{3}\left}$ και $\displaystyle{\frac{x}{3}+\frac{a}{4}=\frac{x}{4}+\frac{1}{2}}$ , έχουν την ίδια λύση, να βρεθεί η τιμή του $\displaystyle{a}$ .

Πρώτα θα λύσουμε την πρώτη εξίσωση με άγνωστο το χ. Αυτή η εξίσωση έχει Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο Παρονομαστών (ΕΚΠ) τον αριθμό 6. $6 \frac{x-1}{2} - 6 \frac{1-{2}^{3}}{3} = 6 \frac{4x-2}{3} \Leftrightarrow 3 (x-1) - 2 (1-{2}^{3}) = 2 (4x-2) \Leftrightarrow 3 (x-1) - 2 (1- 8) = 2 (4x-2) \Leftrightarrow 3x-3-2+16=8x-4 \Leftrightarrow 3x-8x=-4+3+2-16 \Leftrightarrow -5x=-15 \Leftrightarrow \frac{-5x}{-5}=\frac{-15}{-5} \Leftrightarrow x=3$

Αφού βρίσκουμε ότι το χ ισούται με 3, λύνουμε την επόμενη εξίσωση αντικαθιστώντας το χ με τον αριθμό 3 και έχουμε τον α ως άγνωστο. Το ΕΚΠ αυτής της εξίσωσης είναι ο αριθμός 4, αφού μετατρέψουμε το κλάσμα $\frac{3}{3}$ στον αριθμό 1.

$\frac{3}{3}+ \frac{\alpha }{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \Leftrightarrow 1+ \frac{\alpha }{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \Leftrightarrow 4 + 4(\frac{\alpha }{4}) = 4(\frac{3}{4}) + 4 (\frac{1}{2}) \Leftrightarrow 4+\alpha = 3+2 \Leftrightarrow \alpha =3+2-4 \Leftrightarrow \alpha =1$

#17

AΣΚΗΣΗ 6: Αν $\displaystyle{a=2^{-1}+1 , b=a^{-1}+1}$ , να βρείτε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων:

$\displaystyle{A=a^{2}+4b^{2}}$

$\displaystyle{B=(a+2b)^{2}-4ab}$

#18

ΑΣΚΗΣΗ 7: Να βρείτε ένα κλάσμα που να είναι μεγαλύτερο από τον αριθμό 2,333...

, και μικρότερο από τον αριθμό 2,444...

kleovoulos · #19

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 6: Αν $\displaystyle{a=2^{-1}+1 , b=a^{-1}+1}$ , να βρείτε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων:

$\displaystyle{A=a^{2}+4b^{2}}$

$\displaystyle{B=(a+2b)^{2}-4ab}$

Ξεκινάω βρίσκοντας την αριθμητική τιμή του α:

$\alpha = {2}^{-1} + 1 \Leftrightarrow \alpha = \frac{1}{{2}^{1}} + 1 \Leftrightarrow \alpha = \frac{1}{2}+ \frac{2}{2} \Leftrightarrow \alpha = \frac{3}{2}$

Αντίστοιχα και η αριθμητική τιμή του β:

$\beta = {\alpha}^{-1} + 1 \Leftrightarrow \beta = \frac{2}{3} + 1 \Leftrightarrow \beta = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} \Leftrightarrow \beta = \frac{5}{3}$

Αργότερα, βρίσκουμε την αριθμητική τιμή του Α:
To 36 είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.

$A= {(\frac{3}{2})}^{2} + 4 {(\frac{5}{3})}^{2} = \frac{9}{4} + 4( \frac{25}{9} ) = \frac{9}{4} + \frac{100}{9} = \frac{81}{36} + \frac{400}{36} = \frac{481}{36}$

Kαι μία προσπάθεια να βρω την τιμή του Β:

$B = {c}^{2} -4ab = {(\frac{3}{2} + 2 \frac{5}{3})}^{2} - 4 (\frac{3}{2} * \frac{5}{3}) = {(\frac{3}{2} + \frac{10}{3})}^{2} - 4 \frac{15}{6} = {(\frac{9}{6} + \frac{20}{6})}^{2} + \frac{60}{6} = {(\frac{29}{6})}^{2} - \frac{60}{6} = \frac{841}{36} - \frac{360}{36} = \frac{481}{36}$
Όπου c=a+2b

Συνεπώς Α = Β.

#20

kleovoulos έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 6: Αν $\displaystyle{a=2^{-1}+1 , b=a^{-1}+1}$ , να βρείτε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων:

$\displaystyle{A=a^{2}+4b^{2}}$

$\displaystyle{B=(a+2b)^{2}-4ab}$
Αποφάσισα να το λύσω με τον απλό τρόπο, μιας και ο μαθηματικός μας δεν μας καθοδήγησε από άποψη δυνάμεων, και γι'αυτό το λόγο θα προσπαθήσω να απαντήσω με ότι αυτοδίδακτες γνώσεις έχω.

Ξεκινάω βρίσκοντας την αριθμητική τιμή του α:

$\alpha = {2}^{-1} + 1 \Leftrightarrow \alpha = \frac{1}{{2}^{1}} + 1 \Leftrightarrow \alpha = \frac{1}{2}+ \frac{2}{2} \Leftrightarrow \alpha = \frac{3}{2}$

Αντίστοιχα και η αριθμητική τιμή του β:

$\beta = {\alpha}^{-1} + 1 \Leftrightarrow \beta = \frac{2}{3} + 1 \Leftrightarrow \beta = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} \Leftrightarrow \beta = \frac{5}{3}$

Αργότερα, βρίσκουμε την αριθμητική τιμή του Α:
To 36 είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.

$A= {(\frac{3}{2})}^{2} + 4 {(\frac{5}{3})}^{2} = \frac{9}{4} + 4( \frac{25}{9} ) = \frac{9}{4} + \frac{100}{9} = 36 \frac{9}{4} + 36 \frac{100}{9} = 81 + 400 = 481$

Δυστυχώς δεν κατάφερα να βρώ την αριθμητική τιμή του Β, αλλά με έναν (προφανώς λάθος) προϋπολογισμό βρήκα ότι:

Ελπίζω τουλάχιστον τα 3 προηγούμενα να είναι σωστά. (Είμαι καινούργιος στο φόρουμ και μου αρέσουν πολύ τα μαθηματικά.)

Αγαπητέ φίλε, καλώς ήρθες στο φόρουμ και ΜΠΡΑΒΟ που σου αρέσουν τα μαθηματικά. Από εδώ θα έχεις σίγουρα πολλά πράγματα να μάθεις.

Έτσι, μια πολύ σημαντική γνώση που θα μάθεις σήμερα, είναι η εξής:

Δεν κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών, αν δεν έχουμε εξίσωση (ή μερικές φορές και ανίσωση).

Παράδειγμα, στην παράσταση $\frac{2}{3}+\frac{3}{5}$ , δεν μπορούμε να κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών.
Ξαναπροσπάθησε λοιπόν να λύσεις την άσκηση, με την γνώση αυτή

(Πάντως μην ανησυχείς, και εγώ όταν ήμουν μαθητής Α Γυμνασίου, δεν είχα καταλάβει το πότε κάνουμε απαλοιφή και πότε όχι

)

100 θέματα άλγεβρας

100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Re: 100 θέματα άλγεβρας

Μέλη σε σύνδεση