ΕΝΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

minast1994 · #1

Καλησπέρα..

Ένα θεματάκι στην στατιστική εν όψει εξετάσεων

Θεωρούμε το δείγμα με παρατηρήσεις ( x_i

):

, $n\in \mathbb{N}^*$ το οποίο έχει διάμεσο $d=\frac{2k+1}{2}$ , $k\in \mathbb{N}$

Α)Να αποδείξετε ότι ο

είναι περιττός
Β)Να αποδείξετε ότι n=2k+1

Για

Γ)Να βρείτε την μέση τιμή τών παρατηρήσεων
Δ)Σχηματίζουμε τις παρατηρήσεις y_i=ax_i+b

,

τέτοιες ώστε $\bar{x}=\bar{y}$ και s_y=s_x

Να βρεθούν oι a,b

hlkampel · #2

minast1994 έγραψε:Καλησπέρα..
Ένα θεματάκι στην στατιστική εν όψει εξετάσεων

Θεωρούμε το δείγμα με παρατηρήσεις (): , $n\in \mathbb{N}^*$ το οποίο έχει διάμεσο $d=\frac{2k+1}{2}$ , $k\in \mathbb{N}$

Α)Να αποδείξετε ότι ο είναι περιττός
Β)Να αποδείξετε ότι

Για

Γ)Να βρείτε την μέση τιμή τών παρατηρήσεων
Δ)Σχηματίζουμε τις παρατηρήσεις , τέτοιες ώστε $\bar{x}=\bar{y}$ και
Να βρεθούν oι

Α. Το πλήθος των παρατηρήσεων είναι n + 1

.

Αν ο

είναι άρτιος, ο n + 1

είναι περιττός, οπότε η διάμεσος

θα είναι μία από τις παρατηρήσεις, δηλαδή $d \in {N^*}$ .

Όμως $d = \frac{{2k + 1}}{2} \notin N$ , γιατί 2k + 1

περιττός.

Άρα ο

είναι περιττός.

Β. Το πλήθος των παρατηρήσεων είναι n + 1

, δηλαδή άρτιος.

Άρα η διάμεσος είναι η μέση τιμή των παρατηρήσεων που βρίσκονται στις θέσεις $\displaystyle\frac{{n + 1}}{2}$ και $\displaystyle\frac{{n + 1}}{2} + 1$ .

Αφού οι παρατηρήσεις αποτελούν αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο ${\alpha _1} = 0$ και διαφορά $\omega = 1$ τότε ${\alpha _\nu } = \nu - 1$

Έτσι $\displaystyle{\alpha _{\frac{{n + 1}}{2}}} = \frac{{n + 1}}{2} - 1$ και $\displaystyle{\alpha _{\frac{{n + 1}}{2} + 1}} = \frac{{n + 1}}{2}$ όποτε η διάμεσος είναι:

$d = \frac{{\frac{{n + 1}}{2} - 1 + \frac{{n + 1}}{2}}}{2} \Rightarrow \frac{{2k + 1}}{2} = \frac{n}{2} \Rightarrow n = 2k + 1$ .

Γ. Αν k = 2

, τότε $n = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ , δηλαδή οι παρατηρήσεις είναι οι 0,1,2,3,4,5

Η μέση τιμή τους είναι $\bar x = \frac{{0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5}}{6} = \frac{{15}}{6} = \frac{5}{2}$

Δ. Η μέση τιμή των παρατηρήσεων ${y_i}$ είναι:

$\bar y = \alpha \bar x + b\mathop \Rightarrow \limits^{\bar y = \bar x} \left( {1 - \alpha } \right)\bar x = b$ (1)

Η τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων ${y_i}$ είναι:

${s_y} = \left| \alpha \right|{s_x}\mathop \Rightarrow \limits^{{s_y} = {s_x}} \left| \alpha \right| = 1 \Rightarrow \alpha = 1\quad \dot \eta \quad \alpha = - 1$

Με $\alpha = 1$ από την (1) είναι b = 0

το οποίο είναι άτοπο γιατί ab < 0

Με $\alpha = - 1$ από την (1) είναι $b = 2\bar x \Rightarrow b = 5$

Άρα $\alpha = - 1$ και b = 5

minast1994 · #3

...Σας ευχαριστώ πολυ για την λύση σας...

Θα παρουσιάσω την σκέψη μου για το Β) χωρίς αριθμητική προόδο.

Εφόσον το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος ,η διάμεσος ισούται με το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων παρατηρήσεων
Έστω

η μικρότερη τότε η επόμενη θα είναι η m+1

,και θα είναι $d=\frac{2k+1}{2}=\frac{m+(m+1)}{2}\Leftrightarrow k=m$

Τό πλήθος τών παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της

είναι

ενώ οι συνολικές είναι n+1

.Έτσι οι παρατηρήσεις μικρότερες της διαμέσου θα
είναι m+1=k+1

,ενώ μεγαλύτερες απο αυτήν θα είναι (n+1)-(k+1)=n-k

Γνωρίζουμε ότι η διάμεσος (σε δείγμα άρτιου αριθμού παρατηρήσεων) είναι η τιμή κατα την οποία όσες παρατηρήσεις είναι μικρότερες απο αυτήν τόσες είναι και
μεγαλύτερες απο αυτήν.Αρα $k+1=n-k\Leftrightarrow n=2k+1$

...Ερώτηση:Θα μπορούσε να εμφανιστεί η παραπάνω στις παννελήνιες (π.χ θέμα 2);

hlkampel · #4

minast1994 έγραψε: ...Ερώτηση:Θα μπορούσε να εμφανιστεί η παραπάνω στις παννελήνιες (π.χ θέμα 2);

Νομίζω ότι ναι μπορεί να συναντήσουμε τέτοιο πρόβλημα. Όχι όμως 2ο είναι λίγο ανεβασμένο και πιστεύω ότι

θα δυσκολέψει τους μαθητές της θεωρητικής. 3ο ή 4ο νομίζω ότι στέκει καλύτερα.

Αν δίνεις εξετάσεις καλό κουράγιο και επιτυχία.

ΕΝΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΝΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Re: ΕΝΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Re: ΕΝΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Re: ΕΝΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Μέλη σε σύνδεση