ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ

propaid · #1

Δίνεται συνάρτηση

συνεχής, τέτοια ώστε για κάθε $\chi \in R$ να ισχύει $f(x)+e^{f(x)}=x+xe^{x$ .
Να δείξετε ότι:
α. αν $\alpha \neq \beta$ , τότε $f(a)\neq f(b)$
β. αν $a+f(a)=\beta +f(\beta )$ , τότε $\alpha =\beta$
γ. υπάρχει $\chi _{0}\in R$ τέτοιος, ώστε $f(\chi_{0})=0$
δ. υπάρχει $\xi \in R$ τέτοιος, ώστε $f(\xi )=\xi$
ε. f(R)=R

Zarifis · #2

Γ λυκείου , Δύστυχος Λόγο κενών στα αλλά μαθήματα είχα σταματήσει να ασχολούμε με τα μαθηματικά εδώ κι 1 μήνα κι τώρα προσπαθώ να ξεσκουριάσω

δεν έχω ιδέα από παρουσιάσει γραπτού γιαυτό μπορείτε να μου τονίσετε σημεία οπού στη λύση που πρέπει να προσέξω?

dennys · #3

για να δούμε τι έβαλε ο propaid

1)Εχουμε $f(x)+e^{f(x)}=x+xe^x=g(x), g{'}(x)=1+e^x(x+1),g{'}{'}(x)=e^x(x+2)$ , τότε $g{'}{'}(x)=0\Rightarrow x=-2$

$g{'}(x) \searrow x\in (-\infty,-2], g{'}(x)\nearrow x\in [-2,+\infty)$ και $g{'}(-2)>0\Rightarrow g{'}(x)>0\Rightarrow g(x) \nearrow$ στο R

και $g(0)=0, \lim_{x\to -\infty}g(x)=-\infty, \lim_{x\to +\infty}g(x)=+\infty$ .

Tώρα αν πάρω $h(x)=x+e^x,h{'}(x)=1+e^x>0\Rightarrow h(x) \nearrow ,h(f(x))=g(x) \nearrow \Rightarrow f(x) \nearrow \Rightarrow f(x) "1-1"$

αρα $a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)$
)
2)αν απο την ισότητα $a+f(a)=b+f(b)\Rightarrow a\neq b$ τότε με βάση το 1) $f(a)\neq f(b)\Rightarrow a+f(a)\neq b+f(b)$ ΑΤΟΠΟ.

3) Αν $f(x)\neq 0$ τότε ως συνεχής θα διατηρεί πρόσημο. Εστω $f(x)>0\Rightarrow e^{f(x)}>e^0=1$ και $f(x)+e^{f)(x)}>1\Rightarrow g(x)>1$ ατοπο.

ομοια αν ειναι αρνητική.

4)αν είναι $f(x)>x\Rightarrow e^{f(x)}>e^{x}\rightarrow f(x)+e^{f(x)}>x+e^x\Rightarrow x+xe^x>x+e^x\Rightarrow x>1$ αρα υπάρχει b>1: f(b)>b

και ομοια υπάρχει a: f(a)<a

δηλ. υποθέτοντας ότι $f(x)\neq x$ καταλήγω σε άτοπο.

5) αν το όριο της f(x)

είναι ενας αριθμός $k \Rightarrow k+e^k=+\infty=\lim_{x\to +\infty}g(x)$ ατοπο, αρα εχω $]lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$

και στο $-\infty : k+e^k=-\infty=\lim_{x\to -\infty}g(x)$ ατοπο αρα $f(A)=(-\infty,+\infty), (f(x)\nearrow)$

dennys

#4

propaid έγραψε:Δίνεται συνάρτηση συνεχής, τέτοια ώστε για κάθε $\chi \in R$ να ισχύει $f(x)+e^{f(x)}=x+xe^{x$ .
Να δείξετε ότι:
α. αν $\alpha \neq \beta$ , τότε $f(a)\neq f(b)$
β. αν $a+f(a)=\beta +f(\beta )$ , τότε $\alpha =\beta$
γ. υπάρχει $\chi _{0}\in R$ τέτοιος, ώστε $f(\chi_{0})=0$
δ. υπάρχει $\xi \in R$ τέτοιος, ώστε $f(\xi )=\xi$
ε.

Για το δ) μπορούμε να κάνουμε και κάτι περισσότερο. Είναι $\displaystyle{f(1)=1.}$

Πράγματι, από τη δοθείσα για $\displaystyle{x=1}$ έχουμε $\displaystyle{f(1)+e^{f(1)}=1+e}$

και επειδή η συνάρτηση $\displaystyle{t+e^t}$ είναι φανερά γνησίως αύξουσα (άρα $\displaystyle{1-1}$ ) λαμβάνουμε $\displaystyle{f(1)=1.}$

propaid · #5

Ευχαριστώ όλους για την ενασχόληση κι ιδαίτερα τον dennys.

Bill K · #6

Για το α. μπορούμε επίσης να κάνουμε το εξής

Έστω ότι για κάποια $a,b \in \mathbb R$ ισχύει f(a)=f(b)

Τότε $\displaystyle f(a)+e^{f(a)}=f(b)+e^{f(b)}$ άρα $\displaystyle a+ae^a=b+be^b \Rightarrow g(a)=g(b),(1)$ όπου g(x)=x+xe^x

και $g''(x)=0 \Rightarrow x=-2$

g''(x)>0

για

και

για

Άρα η

παρουσιάζει ελάχιστο στο x=-2

οπότε $g'(x)\geq g'(-2)>0$ άρα

γνησίως αύξουσα οπότε 1-1.

Τότε από (1)

προκύπτει

Άρα για κάθε $a,b \in \mathbb R$ με $f(a)=f(b) \Rightarrow a=b$ οπότε

1-1 και ισχύει $a\neq b \Rightarrow f(a)\neq f(b)$

nick41 · #7

Στο (ε) πώς ξέρουμε ότι το όριο θα υπάρχει ;

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ

Re: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ

Re: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ

Re: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ

Re: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ

Re: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ

Re: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ

Μέλη σε σύνδεση