29η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (28-04-2012)

parmenides51 · #1

τα σημερινά θέματα εδώ

Ch.Chortis · #2

Πολύ καλά τα θέματα,με τη σκέψη οτι εξετάζουν τους μαθητές σε όλη την ("διαγωνιστική") ύλη.Υπάρχει ένα θέμα Γεωμετρίας,ένα θέμα Ανισότητας,ένα θέμα Θεωρίας Συνόλων(αν μπορώ να το πω έτσι) και το τελευταίο θέμα που αφορά (όπως πάντα,σχεδόν ) συναρτήσεις.
Καλή επιτυχία σε όλους-όσους διαγωνίστηκαν και,φυσικά,ιδιαίτερες ευχές στην Ελληνική αποστολή.
ΥΣ:Μετά την αποκάλυψη του/της smar για το 4ο θέμα,"πρέπει" να συμφωνήσω μαζί του,οτι τα θέματα,τελικά,δεν ήταν και τόσο καλά.

S.E.Louridas · #3

ΚΑΛΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ στους ΕΛΛΗΝΕΣ διαγωνιζόμενους.
Καλή επιτυχία και Καλή συνέχεια στην Ελληνική Αποστολή.

Antonis_Z · #4

Θα κάνω μια προσπάθεια για την ανισότητα.
Χρησιμοποιώντας την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου και υψώνοντας στην 3η αρκείνα αποδείξουμε ότι. $27(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2\geq 64(xy+yz+zx)^3$ .
Με πράξεις εύκολα δείχνοουμε ότι $(x+y)(y+z)(z+x)\geq\frac{8}{9}(xy+yz+zx)(x+y+z)$ .
Άρα με χρήση αυτής είναι: $LHS\geq \frac{27\cdot 64}{81}(xy+yz+zx)^2(x+y+z)^2$ .
Μετά τις απλοποιήσεις αρκεί: $\frac{(x+y+z)^2}{3}\geq xy+yz+zx$ το οποίο είναι προφανές.
Ισότητα έχουμε για x=y=z

.

Καλή επιτυχία στην Ελληνική αποστολή!!

#5

Απογοητευτικά τα θέματα. Και θα εξηγήσω γιατί προβαίνω σε αυτό το χαρακτηρισμό. Το πρώτο εντάξει είναι ένα καλό πρώτο θέμα. Το δεύτερο είναι μια πολύ κλασσική, γνωστή (θα βρω σύνδεσμο που θα το αποδεικνύει σύντομα) και γενικά μια ανισότητα που ότι και να κάνεις βγαίνει (σε αντίθεση με το περσινό θέμα).
Επίσης το 4ο πρόβλημα εμφανίστηκε αυτούσιο στην USAMO πριν 3 ημέρες. Αυτό είναι απαράδεκτο και δεν μπορώ να φανταστώ πώς επέτρεψαν οι αργηγοί να γίνει κάτι τόσο εξόφθαλμο. Παραθέτω το λινκ http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... c#p2669997 . Μάλιστα πρόκειται για το τέταρτο πρόβλημα του διαγωνισμού εκεί (δηλαδή για το εύκολο της δεύτερης μέρας). Για το πώς μπορεί να έγινε αυτό θα σας δώσω ένα hint. Σκεφτείτε ποιος γνωστός κατασκευαστής προβλημάτων στέλνει θέματα στη USAMO και ταυτόχρονα είναι συνοδός της Σαουδικής Αραβίας που προτείνει και αυτή θέματα στη Βαλκανιάδα..........
Τέλος πάντων, σημασία έχει ότι σύμφωνα με αυτά που άκουσ τα παιδιά έχουν πάει πολύ καλά και αυτό έχει σημασία. Τα υπόλοιπα προς αποφυγήν...
Δείτε (για το πρώτο θέμα έχω παραθέσει μια σύντομη λύση)
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 0#p2672230
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1&t=477232
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1&t=477234
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6#p2672196

Grigoris K. · #6

Καλή επιτυχία σε όλους του διαγωνιζόμενους !!! Μια προσπάθεια για το 1ο Πρόβλημα:

Let

,

and

be points lying on a circle (O)

with centre

. Assume that $\widehat{ABC} > 90^o$ . Let

be the point of intersection of the line

with the line perpendicular to

at

. Let

be the line through

which is perpendicular to

. Let

be the point of intersection of

with the line

, and let

be the point of intersection of (O)

with

that lies between

and

.
Prove that the circumcircles of triangles BFE

and

are tangent at

.

Θεωρώ $AA' \perp CB$ . Ως γνωστόν οι AA', AO

είναι ισογώνιες άρα $\triangle AA'B \sim \triangle AKE \sim \triangle DEC$ .

Ἀρα $\displaystyle{ \widehat{A'BA} = \widehat{DEC} \Rightarrow \widehat{ABC} = \widehat{AED}~(1) }$ .

Από (1)

προκύπτει εύκολα ότι $\displaystyle{ \triangle ABC \sim \triangle AED \Rightarrow \widehat{BDE} = \widehat{BCE} \Rightarrow BECD }$ εγγράψιμο ~(2)

.

Έστω $Z \equiv FE \cap (O)$ . Είναι $\displaystyle{ \widehat{BFD} = \widehat{BAZ} = \hat A + \widehat{CAZ} = \hat A + \widehat{ZFC}=}$

$\displaystyle{\displaystyle{ = \hat A + \widehat{FDC} + \widehat{FCD} = \widehat{FCD} + \hat A + 90^o - \widehat{DEC} = \widehat{FCD} + \hat A + 90^o -(180^o - \hat B) = }$

$\displaystyle{ = \widehat{FCD} + 90^o - \hat C = \widehat{FCD} + \widehat{BCD} \mathop = \limits^{(2)} \widehat{BED} + \widehat{FCD} \Rightarrow \boxed{\widehat{BFD} = \widehat{BED} + \widehat{FCD} ~(3)} }$

Τώρα αν θεωρήσουμε $\displaystyle{ (e) }$ την εφαπτομένη του (BFE)

στο

θα ισχύει $\displaystyle{ \widehat{BEF} = \widehat{BFx} }$ .

Όμως από την σχέση (3)

προκύπτει ότι $\displaystyle{ \widehat{FCD} = \widehat{DFx} }$ άρα η $\displaystyle{ (e) }$ εφάπτεται και του (DFC)

.

S.E.Louridas · #7

smar έγραψε:Απογοητευτικά τα θέματα. Και θα εξηγήσω γιατί προβαίνω σε αυτό το χαρακτηρισμό. Το πρώτο εντάξει είναι ένα καλό πρώτο θέμα. Το δεύτερο είναι μια πολύ κλασσική, γνωστή (θα βρω σύνδεσμο που θα το αποδεικνύει σύντομα) και γενικά μια ανισότητα που ότι και να κάνεις βγαίνει (σε αντίθεση με το περσινό θέμα).
Επίσης το 4ο πρόβλημα εμφανίστηκε αυτούσιο στην USAMO πριν 3 ημέρες. Αυτό είναι απαράδεκτο και δεν μπορώ να φανταστώ πώς επέτρεψαν οι αργηγοί να γίνει κάτι τόσο εξόφθαλμο. Παραθέτω το λινκ http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... c#p2669997 . Μάλιστα πρόκειται για το τέταρτο πρόβλημα του διαγωνισμού εκεί (δηλαδή για το εύκολο της δεύτερης μέρας). Για το πώς μπορεί να έγινε αυτό θα σας δώσω ένα hint. Σκεφτείτε ποιος γνωστός κατασκευαστής προβλημάτων στέλνει θέματα στη USAMO και ταυτόχρονα είναι συνοδός της Σαουδικής Αραβίας που προτείνει και αυτή θέματα στη Βαλκανιάδα..........
Τέλος πάντων, σημασία έχει ότι σύμφωνα με αυτά που άκουσ τα παιδιά έχουν πάει πολύ καλά και αυτό έχει σημασία. Τα υπόλοιπα προς αποφυγήν...
Δείτε (για το πρώτο θέμα έχω παραθέσει μια σύντομη λύση)
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 0#p2672230
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1&t=477232
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1&t=477234
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6#p2672196

Δυστυχώς όταν συμβαίνουν τέτοια πράγματα, εκτίθενται οι ΑΡΙΣΤΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ διαγωνιζόμενοι και μάλιστα μέσα από την ίδια την επιτυχία τους.
Αυτό είναι ο ορισμός της αδικίας γιά αυτά τα ταλέντα αφού είναι τα μόνα που δεν φταίνε. Επειδή δε τα παιδιά αυτά εισέρχονται χωρίς εξετάσεις στις σχολές φιλέτα της επιλογής τους, είμαστε υποχρεωμένοι να τα προστατέψουμε με το να λάβουμε άμεσα μέτρα.
Ας ανοίξει λοιπόν η Ε.Μ.Ε. μας, που σίγουρα νοιαζόμαστε για αυτήν όσο δεν μπορεί κανείς να φανταστεί και που κάθε αντίθετη άποψη είναι άτοπη,
ένα διάλογο ουσίας ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ με θέμα το συγκεκριμένο περί εκσυγχρονισμού δηλαδή και επανασχεδιασμού των διαγωνισμών αυτών.
Εκεί θα καταθέσουμε και μείς δηλαδή η ευρύτερη Μαθηματική κοινότητα τις απόψεις μας.
Προσωπικά πιστεύω ότι το όλο σύστημα μάλλον και διεθνώς, αρχίζει τουλάχιστον να ξεπερνιέται και θέλει εκσυγχρονισμό και επανασχεδιασμό ώστε να παραμείνει ως θεσμός σε υψηλά επίπεδα εκτίμησης.
Είναι πολύ επικύνδυνο να ξεχνάμε, έτσι ή αλλιώς, ότι οι ευρύτερες συνθήκες στον κόσμο άλλαξαν, αφού εδώ και πολύ καιρό ζούμε πλέον στον ρυθμό της πληροφορικής.
Αν θυμηθούμε και τα θέματα του Προκριματικού που ήταν τελείως εκτός κλίματος για τέτοιο επίπεδο, αλλά αν δούμε και τα εδώ είναι και αυτά κατώτερα των στόχων διαγωνισμού επιπέδου Β.Μ.Ο.
Καλό θα είναι κατά την άποψη μου στον επιστημονικό τομέα η σκοπιμότητα να μην έχει τον πρωταγωνιστικό ρόλο, αφού η επιστήμη δεν την χρειάζεται την σκοπιμότητα, καθότι η ίδια η επιστήμη είναι αναγκαιότητα για τον άνθρωπο.

(*) Ας συγκρίνει κάποιος π.χ. το θέμα της Γεωμετρίας του διαγωνισμού αυτού (ή του προκριματικού) με θέματα από το σύνολο των θεμάτων της Γεωμετρίας εδώ στο mathematica π.χ. γιά την Β΄Λυκείου, ως προς οιοδήποτε σημείο και θα καταλάβει......, όπως επίσης ας συγκριθούν και τα αντίστοιχα δείγματα γραφής.
Να γιατί λέμε ότι τα "δείγματα γραφής" θα πρέπει να είναι το ελάχιστο προαπαιτούμενο.
(**) Είναι επίσης σαφές λόγω του 4ου θέματος (http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... c#p2669997), ότι ο διαγωνισμός αυτός είναι κακός και θα πρέπει να εξεταστεί το ενδεχόμενο να ακυρωθεί και επομένως να επαναληφθεί (απόλυτα προσωπική τοποθέτηση).
Αλήθεια οι προτείνοντες θέματα για τέτοιους διεθνείς διαγωνισμούς δεν έχουν πλέον την δυνατότητα να προτείνουν ένα πρωτότυπο (έστω και σε ποσοστό 80%) θέμα ή κάποιο θέμα που να χρειάζεται να κόψει και λίγο το μυαλό για να λυθεί;

Και πάλι καλή συνέχεια και επιτυχίες στην Ελληνική Ομάδα (Διαγωνιζόμενους και Συνοδούς) για την Ι.Μ.Ο. που έρχεται.

#8

1ο Πρόβλημα:

Let

,

and

be points lying on a circle (O)

with centre

. Assume that $\widehat{ABC} > 90^o$ . Let

be the point of intersection of the line

with the line perpendicular to

at

. Let

be the line through

which is perpendicular to

. Let

be the point of intersection of

with the line

, and let

be the point of intersection of (O)

with

that lies between

and

.
Prove that the circumcircles of triangles BFE

and

are tangent at

.
************************************************************************************************************************************************
Με χρήση αντιστροφής

Αντιστρέφουμε με πόλο

και λόγο $\lambda=AF^2=AM\cdot AZ$
ο κύκλος (O)

αντιστρέφεται στην ευθεία

$B\leftrightarrow D$
$C\leftrightarrow E$
οι δύο κύκλοι που μας ενδιαφέρουν (πράσινοι) είναι αντίστροφοι,έχουν κοινό σημείο το

και είναι μοναδικό,γιατί
αν είχαν και δεύτερο πχ το

τότε θα ήταν $AF' ^2 =\lambda \Rightarrow F' \in DM$ άτοπο
διότι τα δεύτερα κοινά σημεία των κύκλων με την

είναι τα

άρα οι κύκλοι εφάπτονται στο

#9

Η άσκηση 2 που λέγαμε είναι ισοδύναμη με το Romanian TST 2001.
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... ?p=2148433

Και είπαμε, το 2 και 4 από τον ίδιο άνθρωπο...

#10

Τα αποτελέσματα είναι γνωστά πλέον!
Αλέξανδρος Μουσάτοφ 40 (Χρυσό μετάλλιο)
Παναγιώτης Λώλας 39 (Χρυσό μετάλλιο)
Ζαχαρίας Τσαμπασίδης 34(Ασημένιο μετάλλιο)
Δημάκης Παναγιώτης 20 (Χάλκινο μετάλλιο)
Κουντουρίδης Ιάσων 15 (εύφημη μνεία)
Μάλλιος Ελευθέριος 6 (συμμετοχή)

Πολλά συγχαρητήρια στην ομάδα!

Ανταποκρίθηκε πολύ καλά σε έναν μυστήριο διαγωνισμό. Δυστυχώς δε γνωρίζω ακόμα κατάταξη της Ελλάδας.
Τα cutoffs για τα μετάλλια ήταν: 39 για το χρυσό, 30 για το ασημένιο, 20 για το χάλκινο.

Ch.Chortis · #11

Συγχαρητήρια

σε όλα τα μέλη της Ελληνικής Ομάδας και ιδιαίτερα στους:Παναγιώτη Λώλα και Αλέξανδρο Μουσάτοφ για τα χρυσά

.

#12

Συγχαρητήρια σε όλους και ιδιαίτερα για τα χρυσά. Πέρυσι είχαμε τον Ηλία που πέτυχε perfect score στον SEEMOUS και φέτος τον Αλέξανδρο στην Βαλκανιάδα. Απλά

.

Καλές επιτυχίες και στην ΙΜΟ.

dimitris pap · #13

Τα ρεκόρ των ελληνικών μαθηματικών ομάδων συνεχίζονται!!

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά για τα εκπληκτικά αποτελέσματα!

Υ.Γ. Δεν θυμάμαι άλλη χρονιά τόσο ψηλά cutoffs!

Ilias_Zad · #14

Πάρα πολύ δυνατά τα αποτελέσματα! Πολλά συγχαρητήρια σε όλους και ιδιαίτερα σε Αλέξανδρο και Παναγιώτη για την άψογη επίδοση.

H Ελλάδα τα τελευταία χρόνια έχει γίνει ,ξεκάθαρα πια,πολύ ισχυρή στους μαθηματικούς διαγωνισμούς.

S.E.Louridas · #15

Πολλά Συγχαρητήρια στους Διαγωνιζόμενους και στούς Ανθρώπους τους.
Ιδιαίτερα συγχαρητήρια στους Μεταλλιούχους.
Καλή Συνέχεια, η Πατρίδα έχει ανάγκη από τέτοιες στιγμές λήψης οξυγόνου
Σίγουρα με το είδος του Διαγωνισμού αυτού διευκολύνθηκαν αυτοί που είχαν τα "μέσα" και όχι οι δικοί μας διαγωνιζόμενοι που πάλεψαν
και ενάντια στο δεδομένο αυτό..

#16

Αν μη τι άλλο πολλά πολλά συγχαρητήρια σε όλους για την επιδοσή τους!
Μπράβο σας!

Σταύρος Σταυρόπουλος · #17

ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ σε όλα τα παιδιά που συμμετείχαν στην Βαλκανιάδα και ιδιαίτερα στους δύο που πήραν χρυσά μετάλλια.

Κώστας Παππέλης · #18

Πολλά συγχαρητήρια στα παιδιά!! Φέτος δε βλέπω σχόλια περί 'προβάτων σε σφαγή' όπως έγινε λόγος στη δική μου χρονιά... Τα παιδιά έδωσαν τη δική τους απάντηση για το πόσο προετοιμασμένοι είμαστε ως χώρα! Θερμά συγχαρητήρια αξίζουν και στην ΕΜΕ.

chris · #19

Πολλά συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά

Φοβερές οι επιδόσεις και μπράβο ειδικά σε Αλέξανδρο και Παναγιώτη για τα χρυσά

Καλή συνέχεια με επιτυχίες στην IMO που σίγουρα θα έρθουν!

kalagz · #20

Συγχαρητήρια στην ομάδα μας! Μπορούμε να πούμε ότι τα παιδιά ΕΣΚΙΣΑΝ! 4 μετάλια, 2 χρυσά και 1 40άρι! ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ!!
Χαιρομαι ιδιαιτέρως που περσι ήμασταν με τους μισούς στην ίδια ομάδα και φέτος τα πήγαν ακόμα καλύτερα! Καλή συνέχεια παιδιά! Θέλουμε χρυσΑ και στην ΙΜΟ!

29η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (28-04-2012)

29η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (28-04-2012)

Re: 29η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (28-04-2012)

Re: 29η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (28-04-2012)

Re: 29η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (28-04-2012)

Re: 29η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (28-04-2012)

Re: 29η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (28-04-2012)

Re: 29η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (28-04-2012)

Re: 29η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (28-04-2012)

Re: 29η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (28-04-2012)

Re: 29η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (28-04-2012)

Re: 29η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (28-04-2012)

Re: 29η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (28-04-2012)

Re: 29η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (28-04-2012)

Re: 29η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (28-04-2012)

Re: 29η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (28-04-2012)

Re: 29η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (28-04-2012)

Re: 29η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (28-04-2012)

Re: 29η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (28-04-2012)

Re: 29η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (28-04-2012)

Re: 29η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (28-04-2012)

Μέλη σε σύνδεση