Άραγε υπάρχει;

#1

'Εστω μία (όχι κατ' ανάγκην συνεχής) συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα $\left( \alpha ,\beta \right)$ με $\lim\limits_{x\rightarrow \beta }f\left( x\right) =\allowbreak \ell \in \mathbb{R}$ .
Υπάρχει άραγε ρητή συνάρτηση

τέτοια ώστε

$\displaystyle{\bullet \,\ \ \ \ {\lim\limits_{x\rightarrow \beta }g\left( x\right) =\allowbreak \ell}$

$\displaystyle{\bullet \,\ \ \ \ g\left( x\right) \leq f\left( x\right)}$ κοντά στο $\beta$ ;

Δεν έχω απάντηση.

Μαυρογιάννης

Ανδρέας Πούλος · #2

Νίκο,
ας κάνουμε ποιο συγκεκριμένο το ερώτημα.
Για τη συνάρτηση f(x) = sin(1/x)

γνωρίζουμε ότι $\lim_{x\rightarrow \frac{2}{\pi }}f(x) = 1$ .
Υπάρχει ρητή συνάρτηση με όριο το 1 κοντά στο $\frac{2}{\pi }$ και με τι ζητούμενη ιδιότητα;

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Ιστοσελίδα · #3

Νίκο διαβάζοντας το ερώτημά σου το μυαλό μου πήγε σε μία γενική ιδέα από αριθμητική ανάλυση που αφορά προσέγγιση συναρτήσεων ή σημείων του επιπέδου με ρητές συναρτήσεις και λέγεται προσέγγιση Pade, αν θυμάμαι καλά. Δεν μπορώ να ανακαλέσω όμως αν μπορούσες να επιτύχεις και συνθήκες όπως αυτές που αναφέρεις. Θα το ψάξω στα βιβλία μου να θυμηθώ...

#4

Νίκο, δεν υπάρχει απαραίτητα.

Θα δείξω ότι δεν υπάρχει ρητή συνάρτηση g(x)

ώστε $\lim_{x \to 0}g(x) = 0$ και $g(x) \geqslant \sqrt{x}$ κοντά στο 0 (από δεξιά).

Πράγματι μια τέτοια

είναι συνεχώς παραγωγίσιμη και άρα έχει φραγμένη παράγωγο σε κάποιο διάστημα $I= [0,\delta]$ με $\delta > 0$ . Όμως για κάθε $x \in I$ από θεώρημα μέσης τιμής, θα υπάρχει $0 < \xi_x < x$ ώστε $\displaystyle{ g'(\xi_x) = \frac{f(x)}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}}$ , άτοπο.

#5

Δημήτρη μπράβο και χίλια ευχαριστώ. Διαισθανόμουν ότι δεν ισχύει αλλά δοκίμαζα να βρω αντιπαράδειγμα με περίεργες συναρτήσεις. Δεν μου πέρασε καθόλου από το μυαλό να αξιοποιήσω το μη φραγμένο της παραγώγου για να βρω κάτι οπως το $\displaystyle{ g'(\xi_x) = \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \geq \frac{1}{\sqrt{x}}}$ .
Μαυεογιάννης

Άραγε υπάρχει;

Άραγε υπάρχει;

Re: Άραγε υπάρχει;

Re: Άραγε υπάρχει;

Re: Άραγε υπάρχει;

Re: Άραγε υπάρχει;

Μέλη σε σύνδεση