Διατύπωση Θεωρήματος Ενδιαμέσων Τιμών

tkmath · #1

Η καλή διατύπωση ενός θεωρήματος φαίνεται στην λειτουργικότητά του.
Όπως είναι διατυπωμένο το θεώρημα στο σχολικό βιβλίο, δημιουργεί προβλήματα στην εφαρμογή του. Οι μαθητές δυσκολεύονται να το κατανοήσουν και να το εφαρμόσουν.
Θεωρώ ότι αν διατυπωθεί λίγο διαφορετικά, όλα θα γίνουν πιο εύκολα.
Ζητάω την γνώμη σας αν η παρακάτω διατύπωση σας βρίσκει σύμφωνους.

Έστω μια συνάρτηση

, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha, \beta]$ .
Αν:
η

είναι συνεχής στο $[\alpha, \beta]$
$f(\alpha) \neq f(\beta)$
για κάθε αριθμό $\eta$ μεταξύ των $f(\alpha)$ και $f(\beta)$

τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον $x_0 \in (\alpha, \beta)$ τέτοιος ώστε $f(x_0) = \eta$ .

Η παραπάνω διατύπωση κάνει ξεκάθαρο ποιο είναι το συμπέρασμα του θεωρήματος.

M.S.Vovos · #2

Συγγνώμη, αν δε βλέπω κάτι, αλλά ποια η διαφορά με αυτό που λέει το σχολικό;

tkmath · #3

Η διαφορά με την διατύπωση του βιβλίου βρίσκεται στην τοποθέτηση του τότε.
Δηλαδή ποιες και πόσες είναι οι προϋπόθεσης του θεωρήματος και ποιο το συμπέρασμα.
Στο βιβλίο φαίνεται ότι το θεώρημα έχει δύο προϋπόθεσης και βγάζει δύο συμπεράσματα.
Στη παραπάνω διατύπωση, φαίνεται να υπάρχουν τρεις προϋπόθεσης και ένα συμπέρασμα.
Ελπίζω τώρα να έγιναν πιο ξεκάθαρες οι διαφορές των δύο διατυπώσεων.

M.S.Vovos · #4

Καλησπέρα.

Εξακολουθώ να μην μπορώ να καταλάβω γιατί ο ποσοδείκτης να είναι αμέσως μετά την συνθήκη $f(a)\neq f(b)$ .

Επίσης, δεν μπορώ να καταλάβω περί τι όλη αυτή η φασαρία; Το θεώρημα θεωρώ ότι είναι σαφές και δεν χρειάζεται να μπερδεύουμε τους μαθητές με κατά τη γνώμη μου,έννοιες προτασιακού λογισμού (αν ξαναλέω κατάλαβα καλά) που ούτε διδάσκονται ούτε θα τους χρειαστούν στις εξετάσεις.

Είμαστε σε ένα σημείο της ύλης το οποίο το έχουν διδαχθεί οι περισσότεροι μαθητές. Το να το περιπλέκουμε χωρίς λόγο είναι έλλειψη υπευθυνότητας.

Και για να μην φαίνεται ότι εγώ είμαι ο αλάνθαστος, δες posts μου που δεν είχαν κανένα νόημα να τεθούν και δε βοήθησαν ουσιαστικά κάπου.

Φιλικά,
Μάριος

#5

tkmath έγραψε:Η καλή διατύπωση ενός θεωρήματος φαίνεται στην λειτουργικότητά του.

Έστω μια συνάρτηση , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha, \beta]$ .
Αν:
η είναι συνεχής στο $[\alpha, \beta]$
$f(\alpha) \neq f(\beta)$
για κάθε αριθμό $\eta$ μεταξύ των $f(\alpha)$ και $f(\beta)$

τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον $x_0 \in (\alpha, \beta)$ τέτοιος ώστε $f(x_0) = \eta$ .

Συντακτικά, πάντως, η διατύπωση δεν φαίνεται καλή. Αυτό το "για κάθε αριθμό $\eta$ μεταξύ των $f(\alpha)$ και $f(\beta)$ " δεν δένει...

tkmath · #6

Θα σας παρακαλούσα να μου απαντήσετε επί της ουσία στο θέμα.
Για να σας διευκολύνω θα θέσω το ερώτημα.
Το ΘΕΤ πόσες προϋποθέσεις έχει;
Δύο ή τρεις;
Αν ξεκαθαριστεί αυτό το ζήτημα θα βρεθεί και συντακτικά η πιο κομψή διατύπωση του θεωρήματος.
Το θέμα θεωρώ ότι δεν είναι τόσο απλό. Οι μαθητές έχουν δυσκολία στο συγκεκριμένο θεώρημα, γιατί εμείς οι δάσκαλοί τους έχουμε πρόβλημα. Εμείς δεν το κατανοούμε όσο θα έπρεπε.

#7

tkmath έγραψε: Έστω μια συνάρτηση , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha, \beta]$ .
Αν:
η είναι συνεχής στο $[\alpha, \beta]$
$f(\alpha) \neq f(\beta)$
για κάθε αριθμό $\eta$ μεταξύ των $f(\alpha)$ και $f(\beta)$

τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον $x_0 \in (\alpha, \beta)$ τέτοιος ώστε $f(x_0) = \eta$ .

Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών (Διατύπωση στο σχολικό βιβλίο).

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα $\displaystyle [\alpha ,\beta ]$ . Αν:
• η f είναι συνεχής στο $\displaystyle [\alpha ,\beta ]$ και
• $\displaystyle f(\alpha ) \ne f(\beta )$
τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των $\displaystyle f(\alpha )$ και $\displaystyle f(\beta )$ υπάρχει ένας, τουλάχιστον $\displaystyle {x_0} \in (\alpha ,\beta )$ τέτοιος, ώστε $\displaystyle f({x_0}) = \eta$

tkmath έγραψε:Η διαφορά με την διατύπωση του βιβλίου βρίσκεται στην τοποθέτηση του τότε.
Δηλαδή ποιες και πόσες είναι οι προϋπόθεσης του θεωρήματος και ποιο το συμπέρασμα.
Στο βιβλίο φαίνεται ότι το θεώρημα έχει δύο προϋπόθεσης και βγάζει δύο συμπεράσματα.
Στη παραπάνω διατύπωση, φαίνεται να υπάρχουν τρεις προϋπόθεσης και ένα συμπέρασμα.
Ελπίζω τώρα να έγιναν πιο ξεκάθαρες οι διαφορές των δύο διατυπώσεων.

Η υπόθεση $f(\alpha) \neq f(\beta)$ είναι ανεξάρτητη της επιλογής το

, οπότε η διατύπωσή σου δεν έχει νόημα (Το είπε κι ο Κώστας παραπάνω).
Είναι σαν να λέμε ότι ισχύει $2 + 3 = 5, \forall x \in \mathbb{R}$ .

Δεν μπορώ να διακρίνω ποιο είναι το δεύτερο συμπέρασμα του Σχολικού βιβλίου.
Ίσως κάτι δεν βλέπω ή δεν κατανοώ. Αν μπορείς γίνε πιο σαφής στο τι εννοείς.

tkmath έγραψε: Το θέμα θεωρώ ότι δεν είναι τόσο απλό. Οι μαθητές έχουν δυσκολία στο συγκεκριμένο θεώρημα, γιατί εμείς οι δάσκαλοί τους έχουμε πρόβλημα. Εμείς δεν το κατανοούμε όσο θα έπρεπε.

Ζητώ συγνώμη αλλά αυτό το "ΕΜΕΙΣ" το εκλαμβάνω ως καθολικό ποσοδείκτη. Νομίζω θα ταίριαζε καλύτερα υπαρξιακός, που όμως θα έλεγε το προφανές. Οι γενικεύσεις είναι ισοπεδωτικές και δεν ταιριάζουν με τη μαθηματική λογική, αν δεν αποδεικνύονται.

edit: Πιστεύω ότι θα ήταν καλύτερα να μεταφερθεί το θέμα στο φάκελο των καθηγητών (ή όπου αλλού ταιριάζει). Δεν αφορά τους μαθητές.

tkmath · #8

Συγχωρέστε με αν το θέμα δεν είναι τοποθετημένο σε σωστό φάκελο. Αν κάποιος νομίζει ότι πρέπει να τοποθετηθεί αλλού, ας το κάνει.
Ζητάω συγνώμη από αυτούς που θεώρησαν ότι τα λεγόμενά μου τους προσβάλουν. Δεν είχα τέτοιο σκοπό.
Δεδομένη όμως είναι η δυσκολία κατανόησης και εφαρμογής του Θεωρήματος Ενδιάμεσων Τιμών από τους μαθητές. Προσπαθώ να βρω έναν τρόπο για να γίνει πιο κατανοητό.
Πολύ πιθανόν το πρόβλημα να το έχω εγώ και μόνο εγώ.
Για να γίνω πιο κατανοητός θα θεωρήσω ένα θεώρημα ως μία μηχανή παραγωγής ενός αντικειμένου. Το αντικείμενο αυτό το ονομάζω συμπέρασμα.
Η μηχανή αυτή χρειάζεται κάποια υλικά για την παραγωγή του αντικειμένου. Τα υλικά αυτά τα ονομάζω προϋπόθεσης.
Για να ξεχωρίσουμε τα υλικά που χρειάζεται αυτή η μηχανή (προϋποθέσεις) από το αντικείμενο παραγωγής (συμπέρασμα) τοποθετούμε συνήθως ένα τότε.
Θα κάνω έναν υποθετικό διάλογο με αυτή την μηχανή στις δύο διατυπώσεις του θεωρήματος.
Αυτός ο διάλογος θα μπορούσε άνετα να σχηματιστεί στο μυαλό ενός μαθητή που διαβάζεις τις δύο διατυπώσεις.
Ας ξεκινήσουμε με την διατύπωση του σχολικού βιβλίου.

Μηχανή: Δώσε μου δύο υλικά
Πρώτο υλικό: Μία συνεχή συνάρτηση

στο $[\alpha, \beta]$
Δεύτερο υλικό: $f(\alpha) \neq f(\beta)$

τότε εγώ η μηχανή θα σου βρω ή θα σου δημιουργήσω
κάθε $\eta$ ανάμεσα στα $f(\alpha)$ και $f(\beta)$
και ένα τουλάχιστον $x_0 \in (\alpha, \beta)$ τέτοιο ώστε $f(x_0) = \eta$ .

Ας πάρουμε την δεύτερη διατύπωση, που προτείνω.

Μηχανή: Δώσε μου τρία υλικά
Πρώτο υλικό: Μία συνεχή συνάρτηση

στο $[\alpha, \beta]$
Δεύτερο υλικό: $f(\alpha) \neq f(\beta)$
Τρίτο υλικό: διάλεξε και δώσε μου ένα οποιοδήποτε $\eta$ ανάμεσα στα $f(\alpha)$ και $f(\beta)$

τότε εγώ η μηχανή θα σου βρω ή θα σου δημιουργήσω
ένα τουλάχιστον $x_0 \in (\alpha, \beta)$ τέτοιο ώστε $f(x_0) = \eta$ .

Ελπίζω τώρα να έγινα τώρα περισσότερο κατανοητός, στο τι μπορεί να δημιουργείται στο μυαλό ενός μαθητή, όταν διαβάζει το παραπάνω θεώρημα.

dement · #9

Πιο γενικά και... συμβολικά, όπως καταλαβαίνω, το ερώτημα είναι αν είναι καλύτερα να διατυπώνουμε

$\forall x \left( P(x) \implies \forall y \left( Q(y) \implies R(x,y) \right) \right)$

ή

$\forall x \ \forall y \left( P(x) \wedge Q(y) \implies R(x,y) \right)$

Οι δύο είναι βέβαια λογικά ισοδύναμες αλλά προσωπικά προτιμώ την πρώτη που δεν βάζει έναν καθολικό ποσοδείκτη ( $\forall y$ ) μπροστά από μια πρόταση ( P(x)

) που δεν εξαρτάται από τη συγκεκριμένη μεταβλητή (

). Πιο συγκεκριμένα, στο θ. Bolzano, θα προτιμούσα τον διαχωρισμό των προϋποθέσεων για την

από εκείνες για τον $\eta$ . Αλλά αυτό είναι μάλλον θέμα αισθητικής.

Επίσης, με τον πρώτο τρόπο, μάς είναι πιο εύκολο να ορίσουμε την ιδιότητα της "ενδιάμεσης τιμής" σε μια συνάρτηση, παριστώντας την ως αναγκαία συνθήκη της συνέχειας (και να αναφέρουμε εν παρόδω, αν θέλουμε, ότι την ίδια ιδιότητα έχουν όλες οι παράγωγοι ακόμα και όταν δεν είναι συνεχείς - παρ' όλο που αυτό δεν περιέχεται στη σχολική ύλη).

tkmath · #10

Επανέρχομαι στη συζήτηση αυτή με αφορμή την εντυπωσιακή και διαρκή επισκεψιμότητά της — πάνω από 51.000 προβολές — η οποία φανερώνει ότι το θέμα εξακολουθεί να απασχολεί έντονα μαθητές και εκπαιδευτικούς. Η έκταση του ενδιαφέροντος δείχνει πως δεν πρόκειται για μια τυπική διατύπωση θεωρήματος, αλλά για ένα πραγματικό παιδαγωγικό πρόβλημα: η κατανόηση του Θεωρήματος Ενδιάμεσων Τιμών, όπως παρουσιάζεται στο σχολικό βιβλίο, αποδεικνύεται δυσανάλογα δύσκολη σε σχέση με την ουσία του. Αυτό με ώθησε να αναζητήσω μια εναλλακτική προσέγγιση — όχι μόνο για το ΘΕΤ, αλλά και για το Θεώρημα Bolzano — με κοινή λογική δομή, ώστε το ένα να λειτουργεί ως φυσική προέκταση του άλλου.

Προσωπικά, ως εκπαιδευτικός που βρίσκεται καθημερινά στην τάξη, διαπιστώνω εδώ και χρόνια ότι πολλοί μαθητές αντιμετωπίζουν σοβαρές δυσκολίες στην κατανόηση της διατύπωσης του συγκεκριμένου θεωρήματος. Το πρόβλημα δεν είναι μαθηματικό, αλλά γλωσσικό και παιδαγωγικό: η υφιστάμενη διατύπωση, αν και τυπικά ορθή, δεν βοηθά την εννοιολογική προσέγγιση του θεωρήματος από τους μαθητές. Και αυτό είναι κρίσιμο, γιατί η αξία ενός θεωρήματος στο Λύκειο δεν είναι μόνο η θεωρητική του ισχύς, αλλά και η κατανόησή του ως εργαλείο μαθηματικής σκέψης.

Αυτός ήταν και ο λόγος που προσπάθησα να προτείνω μια εναλλακτική διατύπωση — όχι μόνο για το Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών, αλλά και για το Θεώρημα Bolzano. Οι αλλαγές που προτείνονται δεν αφορούν την ουσία των θεωρημάτων, αλλά τη μορφή και τη διδακτική λειτουργικότητά τους. Στόχος είναι να παρουσιαστούν τα δύο θεωρήματα με ενιαία λογική δομή, ώστε το ένα να λειτουργεί ως φυσική προέκταση του άλλου και να διευκολυνθεί η κατανόηση του δεύτερου μέσω του πρώτου.

Θεώρημα Bolzanο

Έστω μια συνάρτηση

, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα $[ \alpha, \beta ]$ .

Αν

η

είναι συνεχής στο $[ \alpha, \beta ]$

και ισχύει ότι:

$\displaystyle f(\alpha) < 0 < f(\beta)$

ή

$\displaystyle f(\beta) < 0 < f(\alpha)$

δηλαδή:

$\displaystyle f(\alpha) \cdot f(\beta) < 0$

τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός $x_0 \in (\alpha, \beta)$ τέτοιος ώστε:

$\displaystyle f(x_0) = 0.$

Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών

Έστω μια συνάρτηση

, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα $[ \alpha, \beta ]$ .

Αν

η

είναι συνεχής στο $[ \alpha, \beta ]$

και υπάρχει αριθμός $\eta$ τέτοιος ώστε:

$\displaystyle f(\alpha) < \eta < f(\beta)$

ή

$\displaystyle f(\beta) < \eta < f(\alpha),$

τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός $x_0 \in (\alpha, \beta)$ τέτοιος ώστε:

$\displaystyle f(x_0) = \eta.$

Με αυτές τις δύο παράλληλες διατυπώσεις, που έχουν την ίδια λογική βάση, επιχειρείται να ενισχυθεί η κατανόηση του ΘΕΤ από τους μαθητές μέσω της γλωσσικής και νοηματικής εγγύτητάς του με το ήδη οικείο Θεώρημα Bolzano.

Με εκτίμηση,
Θοδωρής Κουρούκλης

math8000 · #11

Αν καταλαβαίνω καλά , η παρανόηση (ενδεχομένως από μαθητές ) βρίσκεται στο ότι η υπόθεση "για κάθε η μεταξύ των f(α) , f(β)" , βρίσκεται μετά το "τότε", οπότε κάποιος ίσως το θεωρήσει ως κομμάτι του συμπεράσματος. Βελόνα στα άχυρα, αλλά ακόμα και αν συμβεί αυτό , ο καθηγητής το αποσαφηνίζει σε ένα λεπτό.

Διατύπωση Θεωρήματος Ενδιαμέσων Τιμών

Διατύπωση Θεωρήματος Ενδιαμέσων Τιμών

Re: Διατύπωση Θεωρήματος Ενδιαμέσων Τιμών

Re: Διατύπωση Θεωρήματος Ενδιαμέσων Τιμών

Re: Διατύπωση Θεωρήματος Ενδιαμέσων Τιμών

Re: Διατύπωση Θεωρήματος Ενδιαμέσων Τιμών

Re: Διατύπωση Θεωρήματος Ενδιαμέσων Τιμών

Re: Διατύπωση Θεωρήματος Ενδιαμέσων Τιμών

Re: Διατύπωση Θεωρήματος Ενδιαμέσων Τιμών

Re: Διατύπωση Θεωρήματος Ενδιαμέσων Τιμών

Re: Διατύπωση Θεωρήματος Ενδιαμέσων Τιμών

Re: Διατύπωση Θεωρήματος Ενδιαμέσων Τιμών

Μέλη σε σύνδεση