AΠΟ ΤΙΣ ΑΚΤΕΣ ΤΗΣ ΑΔΡΙΑΤΙΚΗΣ...

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

To Cesenatico είναι μια πόλη της Ιταλίας στις ακτές της Αδριατικής. Εκεί έγινε το 1989 η 5η Μαθηματική Ιταλική Ολυμπιάδα.
Σας προτείνω το 3ο θέμα από αυτήν.

Αποδείξτε ότι σε κάθε τετράεδρο ABCD,

υπάρχει ένα μοναδικό σημείο

στο
εσωτερικό του τετραέδρου τέτοιο ώστε τα τετράεδρα PABC,PABD,PACD,PBCD

να έχουν τον ίδιο όγκο.

S.E.Louridas · #2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 24, 2024 8:52 am
Αποδείξτε ότι σε κάθε τετράεδρο υπάρχει ένα μοναδικό σημείο στο
εσωτερικό του τετραέδρου τέτοιο ώστε τα τετράεδρα
να έχουν τον ίδιο όγκο.

Καλημέρα καλημέρα.

Έστω ότι υπάρχει ένα τέτοιο σημείο, θεωρούμε (a), (b), (c), (d)

τα εμβαδά των εδρών, x, y, z, q

οι αντίστοιχες αποστάσεις του σημείου από τις έδρες και k, l, m, n

τα αντίστοιχα ύψη του τετραέδρου.

Τότε παίρνουμε: $\displaystyle{x\alpha = yb = zc = qd = t\;\,\left( 1 \right),\;\,\,\frac{x}{k} + \frac{y}{l} + \frac{z}{m} + \frac{q}{n} = 1\,\;\left( 2 \right).}$

Από τις (1), (2)

προσδιορίζουμε το

και τελικά … τελειώσαμε

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

Ένα απλό σχόλιο

Αξίζει να σημειωθεί ότι οι (προσημασμένοι) όγκοι των (ενδεχομένως εκφυλισμένων) τεσσάρων
τετραέδρων που ορίζει ένα οποιοδήποτε σημείο του χώρου με τις έδρες του ABCD

προσδιορίζουν τη θέση του και μπορούν να θεωρηθούν ως οι (μη κανονικοποιημένες)
βαρυκεντρικές του συντεταγμένες ως προς το ABCD

(https://en.wikipedia.org/wiki/Barycentr ... ate_system)

Επειδή στην περίπτωση του ζητούμενου σημείου

αυτοί οι όγκοι ειναι ίσοι, συμπεραίνουμε
πως πρόκειται για το σημείο με (μη κανονικοποιημένες) συντεταγμένες $P(1\colon1\colon1\colon1)$
και συνεπώς διανυσματική ακτίνα $\overrightarrow{OP}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{OB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{OC}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{OD}$

Μια στοιχειώδη εισαγωγή στις βαρυκεντρικές συντεταγμένες μπορεί κανείς να δεί εδώ
https://youtu.be/63WG_MAgyS4?si=BV2xlngyGs7_iBgy

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 24, 2024 10:15 pm
και συνεπώς διανυσματική ακτίνα $\overrightarrow{OP}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{OB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{OC}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{OD}$

To σημείο με τη διανυσματική ακτίνα που αναφέρει ο Ιάσωνας είναι ένα χαρακτηριστικό σημείο του τετραέδρου...

AΠΟ ΤΙΣ ΑΚΤΕΣ ΤΗΣ ΑΔΡΙΑΤΙΚΗΣ...

AΠΟ ΤΙΣ ΑΚΤΕΣ ΤΗΣ ΑΔΡΙΑΤΙΚΗΣ...

Re: AΠΟ ΤΙΣ ΑΚΤΕΣ ΤΗΣ ΑΔΡΙΑΤΙΚΗΣ...

Re: AΠΟ ΤΙΣ ΑΚΤΕΣ ΤΗΣ ΑΔΡΙΑΤΙΚΗΣ...

Re: AΠΟ ΤΙΣ ΑΚΤΕΣ ΤΗΣ ΑΔΡΙΑΤΙΚΗΣ...

Μέλη σε σύνδεση