Εμβαδόν από λόγους

KARKAR · #1

: Εμβαδόν από λόγους.png (12.08 KiB) Προβλήθηκε 1618 φορές

Οι

είναι οι διχοτόμοι ( εσωτερική και εξωτερική ) της γωνίας $\hat{A}$ του τριγώνου ABC

.

Αν είναι : $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{2}$ και $\dfrac{AE}{AD}=\Phi+1$ , υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου ABE

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 25, 2023 10:15 am
Εμβαδόν από λόγους.pngΟι είναι οι διχοτόμοι ( εσωτερική και εξωτερική ) της γωνίας $\hat{A}$ του τριγώνου .

Αν είναι : $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{2}$ και $\dfrac{AE}{AD}=\Phi+1$ , υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου .

Εντυπωσιακός ΚARKAR

$\displaystyle \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{c}{b} = \frac{3}{2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{BD = 3} DC = 2$ και $\displaystyle \frac{{BE}}{{CE}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{{5 + CE}}{{CE}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow CE = 10$

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} A{D^2} = bc - 6 \hfill \\ A{E^2} = 150 - bc \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$ $\boxed{\sqrt {(bc - 6)(150 - bc)} = 2(ADE) = 12h}$ (1)

: Εμβαδόν από λόγους.png (16.03 KiB) Προβλήθηκε 1602 φορές

$\displaystyle \frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{\sqrt 5 + 3}}{2} \Leftrightarrow \frac{{150 - bc}}{{bc - 6}} = \frac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow bc = 78 - 24\sqrt 5$ και αντικαθιστώντας στην (1)

$\displaystyle \sqrt {(72 - 24\sqrt 5 )(72 + 24\sqrt 5 )} = 12h \Leftrightarrow h = 4$ (όλα τα λεφτά είναι η ακεραιότητα του ύψους!)

Εύκολα τώρα, $\boxed{(ABE)=30}$

Γιώργος Μήτσιος · #3

Χαιρετώ!

Να υποσχεθώ πώς θα γράψω λύση αργότερα (δοθείσης ευκαιρίας)

χωρίς χρήση του ύψους και χωρίς ριζικά, με τη βοήθεια και της σχέσης $1+\Phi^4 = 3\Phi ^2$ .

Τότε , ας μου επιτραπεί να γράψω (συμφωνώντας με τον Γιώργο) ένα ακόμη σχόλιο για τον KARKAR..

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλή Κυριακή σε όλους!
Η απόδειξη που ..έταξα ας αναβληθεί προσωρινά για προηγηθεί η ακόλουθη πρόταση ,νομίζω ενδιαφέρουσα:

Αν οι κάθετες πλευρές ορθ. τριγώνου έχουν λόγο ίσο με $\Phi ^2$ , τότε η υποτείνουσα είναι τριπλάσια του ύψους προς αυτήν.

: 26- 2 πρόταση.png (67.55 KiB) Προβλήθηκε 1549 φορές

Πράγματι: Με κάθετες $k,k\Phi^2$ και υποτείνουσα

, το Π.Θ δίνει $a^2=k^2\left ( 1+\Phi ^4 \right )=3k^2\Phi ^2$

οπότε $h\cdot a=k^2\Phi ^2=a^2/3 \Rightarrow a=3h$

Η ακεραιότητα του ύψους λοιπόν, που δικαίως σ' εντυπωσίασε Γιώργο

εξασφαλίζεται αν η υποτείνουσα είναι πολ/σιο του 3. Θα επανέλθω για ό,τι υποσχέθηκα..

#5

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 26, 2023 2:14 am
Καλή Κυριακή σε όλους!
Η απόδειξη που ..έταξα ας αναβληθεί προσωρινά για προηγηθεί η ακόλουθη πρόταση ,νομίζω ενδιαφέρουσα:

Αν οι κάθετες πλευρές ορθ. τριγώνου έχουν λόγο ίσο με $\Phi ^2$ , τότε η υποτείνουσα είναι τριπλάσια του ύψους προς αυτήν.
26- 2 πρόταση.png

Πράγματι: Με κάθετες $k,k\Phi^2$ και υποτείνουσα , το Π.Θ δίνει $a^2=k^2\left ( 1+\Phi ^4 \right )=3k^2\Phi ^2$

οπότε $h\cdot a=k^2\Phi ^2=a^2/3 \Rightarrow a=3h$

Η ακεραιότητα του ύψους λοιπόν, που δικαίως σ' εντυπωσίασε Γιώργο

εξασφαλίζεται αν η υποτείνουσα είναι πολ/σιο του 3. Θα επανέλθω για ό,τι υποσχέθηκα..

Δεν είχα υπόψη μου αυτή την πρόταση Γιώργο

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλό μεσημέρι!
Η αλήθεια , Γιώργο είναι ότι ούτε εγώ την ήξερα , την..αποκάλυψα για τις ανάγκες του παρόντος θέματος!

Η περαιτέρω αναζήτηση με οδηγεί στην δημιουργία γενικότερης πρότασης ,που πιθανότατα κυκλοφορεί (εφόσον αληθεύει).

ΠΡΟΤΑΣΗ. Σε τρίγωνο με $\widehat{A}=90^o$ ισχύει :

$\dfrac{a}{h}=tanB +tanC$ , όπου το ύψος προς την υποτείνουσα .

Θα υποβάλω απόδειξη , αν βεβαίως δεν καλυφθεί...

#7

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 26, 2023 1:35 pm
Καλό μεσημέρι!
Η αλήθεια , Γιώργο είναι ότι ούτε εγώ την ήξερα , την..αποκάλυψα για τις ανάγκες του παρόντος θέματος!

Η περαιτέρω αναζήτηση με οδηγεί στην δημιουργία γενικότερης πρότασης ,που πιθανότατα κυκλοφορεί (εφόσον αληθεύει).

ΠΡΟΤΑΣΗ. Σε τρίγωνο με $\widehat{A}=90^o$ ισχύει :

$\dfrac{a}{h}=tanB +tanC$ , όπου το ύψος προς την υποτείνουσα .

Θα υποβάλω απόδειξη , αν βεβαίως δεν καλυφθεί...

Καλό μεσημέρι!

$\displaystyle \tan B + \tan C = \frac{b}{c} + \frac{c}{b} = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{bc}} = \frac{{{a^2}}}{{ah}} = \frac{a}{h}$

STOPJOHN · #8

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 25, 2023 10:15 am
Εμβαδόν από λόγους.pngΟι είναι οι διχοτόμοι ( εσωτερική και εξωτερική ) της γωνίας $\hat{A}$ του τριγώνου .

Αν είναι : $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{2}$ και $\dfrac{AE}{AD}=\Phi+1$ , υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου .

$AD//BT\Rightarrow BT=\dfrac{5}{4}AD,(1) ,AT=\dfrac{1}{4}(\Phi +1)AD,(2), ADE,AD^{2}+AE^{2}=144\Rightarrow AD^{2}(\Phi +1)3=144,(3), (ABE)=\dfrac{5}{8}(\Phi +1)AD^{2}, (1),(2),(3),(4)\Rightarrow (ABE)=30$

Γιώργος Μήτσιος · #9

Καλή σαρακοστή!

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 25, 2023 10:15 am

27- 2 Eμβαδόν από λόγους.png (80.04 KiB) Προβλήθηκε 1479 φορές

Οι είναι οι διχοτόμοι ( εσωτερική και εξωτερική ) της γωνίας $\hat{A}$ του τριγώνου .

Αν είναι : $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{2}$ και $\dfrac{AE}{AD}=\Phi+1$ , υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου .

Παρόμοια λύση , χωρίς χρήση του ύψους. Όπως βρέθηκε CD=2,CE=10

, ενώ $AD \perp AE$ , ως εσ. και εξ. διχοτόμοι.

Το Π.Θ μας δίνει $DE^2=AD^2+\left ( \Phi ^2AD \right )^{2}=\left ( 1+\Phi ^4 \right )AD^2=3\Phi ^2AD^2$ οπότε $\Phi ^2AD^2 =12^2/3=48$

άρα $\left ( ADE \right )=AD\cdot AE/2=\Phi ^2AD^2 /2=24$ και τελικά $\dfrac{\left ( ABE \right )}{(ADE)}=\dfrac{BE}{DE}\Rightarrow \left ( ABE \right )=\dfrac{15}{12}\left ( ADE \right )=30$

Κι' ένα -προφανώς ευχάριστο για μένα- ξάφνιασμα από τον KARKAR :

Ο συμβολισμός του χρυσού λόγου με κεφαλαίο $\Phi$ ... όπως $\Phi$ ειδίας !

Φιλικά, Γιώργος.

KARKAR · #10

Στη βιβλιογραφία χρησιμοποιείται και το κεφαλαίο $\Phi$ και το μικρό $\phi$ . Τάσσομαι υπέρ του μικρού .

Γενικά για τους αριθμούς προτιμούμε μικρά γράμματα . Ακόμα και για τον αριθμό του Euler

.

Κάποιος είπε ότι το μέγιστο της δόξας είναι να γράφουν το αρχικό γράμμα του ονόματός σου με μικρό !

#11

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 27, 2023 10:42 am
Στη βιβλιογραφία χρησιμοποιείται και το κεφαλαίο $\Phi$ και το μικρό $\phi$ . Τάσσομαι υπέρ του μικρού .

Γενικά για τους αριθμούς προτιμούμε μικρά γράμματα . Ακόμα και για τον αριθμό του .

Κάποιος είπε ότι το μέγιστο της δόξας είναι να γράφουν το αρχικό γράμμα του ονόματός σου με μικρό !

ακριβώς αυτό .

#12

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 25, 2023 10:15 am
Εμβαδόν από λόγους.pngΟι είναι οι διχοτόμοι ( εσωτερική και εξωτερική ) της γωνίας $\hat{A}$ του τριγώνου .

Αν είναι : $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{2}$ και $\dfrac{AE}{AD}=\Phi+1$ , υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου .

Από την αρμονική αναλογία : $\dfrac{{DC}}{{DB}} = \dfrac{{EC}}{{EB}} \Rightarrow \dfrac{2}{3} = \dfrac{{EC}}{{5 + EC}} \Rightarrow EC = 10$

Κατασκευάζω τον Απολλώνιο κύκλο , για κάθε σημείο $\,M\,$ του οποίου , $\dfrac{{MD}}{{ME}} = \dfrac{1}{{\varphi + 1}}$ .

και τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

στο

. Ας είναι

το κέντρο αυτού του κύκλου και

το κέντρο του ημικυκλίου .

Ο τύπος που δίδει την ακτίνα του κύκλου του Απολλώνιου , από $\left( {a,m,n} \right)$ είναι : $R = \dfrac{a}{{\left| {\dfrac{m}{n} - \dfrac{n}{m}} \right|}}$

: Εμβαδόν απο λόγους_ κατασκευή.png (31.92 KiB) Προβλήθηκε 1446 φορές

Οι κύκλοι $\left( {K,{R_K}} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {L,{R_L}} \right)$ είναι ορθογώνιοι με ακτίνες : ${R_K} = \dfrac{{DE}}{{\left| {\varphi + 1 - \dfrac{1}{{\varphi + 1}}} \right|}} = \dfrac{{12}}{{\sqrt 5 }}$ και ${R_L} = \dfrac{{BC}}{{\left| {\dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{3}} \right|}} = 6$ ( αν κι εδώ είναι προφανές)

Επειδή το ύψος

όλων των τριγώνων με κορυφή

και βάση πάνω στην ευθεία

είναι κοινό θα έχω:

$\dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{R_K^2}} + \dfrac{1}{{R_L^2}} = \dfrac{5}{{144}} + \dfrac{1}{{36}} \Rightarrow \boxed{h = 4}$ τα απλά υπόλοιπα ειπώθηκαν.

Παρατήρηση .

Επειδή η άσκηση έχει κατασκευαστεί , κατά το μάλλον ή ήττον , στο «εργαστήριο»

KARKAR

θα ήθελα , αν είναι δυνατόν , να μάθω ποια η «επιφοίτηση» , για την

εκπληκτική ως προς το αποτέλεσμα , αυτή άσκηση.

KARKAR · #13

: Εμβαδόν από λόγους συπλ..png (21.76 KiB) Προβλήθηκε 1429 φορές

Ξεκινάμε με το τμήμα

, το οποίο χωρίζουμε σε τμήματα : BD=3 , DC=2

.

Σχεδιάζουμε τον απολλώνιο κύκλο . Έχουμε BE=15

. Θέλουμε τώρα άρτιο ύψος , ελπίζοντας

σε μια ενδιαφέρουσα αναλογία των κάθετων πλευρών , του ορθογωνίου τριγώνου ADE

. Ναι

Γιώργος Μήτσιος · #14

Χαιρετώ και πάλι!

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 27, 2023 7:13 pm

Εμβαδόν από λόγους συπλ.png
Ξεκινάμε με το τμήμα , το οποίο χωρίζουμε σε τμήματα : .

Σχεδιάζουμε τον απολλώνιο κύκλο . Έχουμε . Θέλουμε τώρα άρτιο ύψος , ελπίζοντας

σε μια ενδιαφέρουσα αναλογία των κάθετων πλευρών , του ορθογωνίου τριγώνου . Ναι

Εξαιρετικό το ως άνω σκεπτικό του Θανάση! Ας προσθέσω κάτι:

Ο λόγος , έστω

, των κάθετων πλευρών του $\triangleleft ADE$ υπολογίζεται από την σχέση $\dfrac{a}{h}=tanD +tanE$ που είδαμε πιο πάνω.

Για a=12

προκύπτει η εξίσωση $k+\dfrac{1}{k}=\dfrac{12}{h}$ με καλές τιμές για το

τις

.

Συμφωνούμε ...

βεβαίως, πως η πιο ενδιαφέρουσα αναλογία είναι η $\dfrac{AE}{AD}=k=\Phi +1$ , για h=4

Ό,τι έγραψα ήταν με εύθυμη και καλοπροαίρετη διάθεση .

Ο χρυσός λόγος διατηρεί τις- θαυμαστές για όλους μας- ιδιότητες ανεξάρτητα από τον συμβολισμό!

Επιθυμώ να τονίσω το αυτονόητο: Θεωρώ όλους τους συμμετέχοντες (και) στο παρόν θέμα αγαπητούς και φίλους

με απολύτως σεβαστές τις απόψεις και τις προτιμήσεις ...

Πάντοτε φιλικά, Γιώργος.

#15

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 27, 2023 10:42 am
Στη βιβλιογραφία χρησιμοποιείται και το κεφαλαίο $\Phi$ και το μικρό $\phi$ . Τάσσομαι υπέρ του μικρού .

Γενικά για τους αριθμούς προτιμούμε μικρά γράμματα . Ακόμα και για τον αριθμό του .

Κάποιος είπε ότι το μέγιστο της δόξας είναι να γράφουν το αρχικό γράμμα του ονόματός σου με μικρό !

Να παρατηρήσω ότι ένιοι ( ή ενίοτε) με κεφάλαιο Έλληνικό (Φ) συμβολίζουν τον αντίστροφο του άκρου μέσου λόγου (φ^(-1)).

Εμβαδόν από λόγους

Εμβαδόν από λόγους

Re: Εμβαδόν από λόγους

Re: Εμβαδόν από λόγους

Re: Εμβαδόν από λόγους

Re: Εμβαδόν από λόγους

Re: Εμβαδόν από λόγους

Re: Εμβαδόν από λόγους

Re: Εμβαδόν από λόγους

Re: Εμβαδόν από λόγους

Re: Εμβαδόν από λόγους

Re: Εμβαδόν από λόγους

Re: Εμβαδόν από λόγους

Re: Εμβαδόν από λόγους

Re: Εμβαδόν από λόγους

Re: Εμβαδόν από λόγους

Μέλη σε σύνδεση