Κατάλληλη ακτίνα

KARKAR · #1

: Κατάλληλη ακτίνα.png (10.62 KiB) Προβλήθηκε 613 φορές

Με κέντρο το μέσο

, τμήματος AB=8

, γράφω κύκλο μεταβλητής ακτίνας , προς τον οποίο φέρω - στο ίδιο ημιεπίπεδο-

τα εφαπτόμενα τμήματα AS , BT

. Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου MST

και το τότε μήκος της χορδής

.

#2

Καλημέρα σε όλους.

: 21-12-2022 Γεωμετρία.png (14.74 KiB) Προβλήθηκε 591 φορές

Είναι $\displaystyle \left( {MST} \right) = \frac{{ST \cdot d\left( {M,ST} \right)}}{2} = {R^2}\eta \mu \varphi \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi$ , $\displaystyle 0 \le R \le 4,\;\;0 \le \varphi \le \frac{\pi }{2}$ .

Στο SAM

είναι $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{R}{4} \Rightarrow \eta \mu \varphi = \frac{{\sqrt {16 - {R^2}} }}{4}$ , άρα $\displaystyle \left( {MST} \right) = \frac{{{R^3}\sqrt {16 - {R^2}} }}{8} = \frac{1}{8}\sqrt {16{R^6} - {R^8}}$

Το εμβαδόν γίνεται μέγιστο όταν η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = 16{x^6} - {x^8},\;\;x \in \left[ {0,4} \right]$ πάρει μέγιστη τιμή, που συμβαίνει όταν $\displaystyle x = 2\sqrt 3$ .

Τότε, $\displaystyle \varphi = 30^\circ$ , άρα $\displaystyle {\left( {MST} \right)_{\max }} = 3\sqrt 3 ,\;\;ST = 6$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 21, 2022 6:51 am
Κατάλληλη ακτίνα.pngΜε κέντρο το μέσο , τμήματος , γράφω κύκλο μεταβλητής ακτίνας , προς τον οποίο φέρω - στο ίδιο ημιεπίπεδο-

τα εφαπτόμενα τμήματα . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου και το τότε μήκος της χορδής .

Γενικά, έστω AB=2a

και

η ακτίνα του κύκλου. Από την ομοιότητα των τριγώνων ASM, MNS

έχω:

: Κατάλληλη ακτίνα.ΚΑ.png (13.88 KiB) Προβλήθηκε 585 φορές

$\displaystyle \frac{a}{x} = \frac{{2x}}{{ST}} \Leftrightarrow$ $\boxed{ST = \frac{{2{x^2}}}{a}}$ (1).

Εξάλλου, $\displaystyle MN = \sqrt {{x^2} - \frac{{S{T^2}}}{4}} \Leftrightarrow MN = \frac{{x\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{a}.$

$\displaystyle (MST) = \frac{1}{2}ST \cdot MN \Leftrightarrow$ $\boxed{(MST) = f(x) = \frac{{{x^3}}}{{{a^2}}}\sqrt {{a^2} - {x^2}} ,0 < x < a}$

$\displaystyle f'(x) = \frac{{{x^2}(3{a^2} - 4{x^2})}}{{{a^2}\sqrt {{a^2} - {x^2}} }},$ απ' όπου συμπεραίνω ότι για $\boxed{x = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}$ παρουσιάζει μέγιστο ίσο με

$\boxed{\rm max\left\{ {(MST)} \right\} = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}}$ Τέλος από την (1)

είναι $\boxed{ST=\frac{3a}{2}}$

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Στη θέση του μέγιστου η πράσινη γωνία είναι $60^\circ ($ και φυσικά η καθεμία από τις κόκκινες $30^\circ).$

#4

Το πρόβλημα ανάγεται στη μεγιστοποίηση του $\displaystyle 2(SKM)=x\sqrt{x(4-x)}$
Έστω $\displaystyle f(x)=x\sqrt{x(4-x)}$ . Τότε $\displaystyle {f}'(x)=\frac{-2{{x}^{2}}+6x}{\sqrt{-{{x}^{2}}+4x}}$ ,
οπότε το μέγιστο επιτυγχάνεται για $\displaystyle x=3$ και είναι ίσο με $\displaystyle 3\sqrt{3}$ . Το $\displaystyle ST=2x=2\cdot 3=6$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 21, 2022 6:51 am
Κατάλληλη ακτίνα.pngΜε κέντρο το μέσο , τμήματος , γράφω κύκλο μεταβλητής ακτίνας , προς τον οποίο φέρω - στο ίδιο ημιεπίπεδο-

τα εφαπτόμενα τμήματα . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου και το τότε μήκος της χορδής .

Γράφω το σταθερό κύκλο διαμέτρου

( εδώ

)

Φέρνω από το

κάθετη στην

και τέμνει αυτόν τον κύκλο στο

. Προφανές : $\left( {SMT} \right) = \left( {SMF} \right)$ .

: κατάλληλη ακτίνα.png (19.3 KiB) Προβλήθηκε 555 φορές

Αλλά το $\left( {SMF} \right)$ γίνεται μέγιστο όταν γίνει ισόπλευρο . κ.λ.π.

Κατάλληλη ακτίνα

Κατάλληλη ακτίνα

Re: Κατάλληλη ακτίνα

Re: Κατάλληλη ακτίνα

Re: Κατάλληλη ακτίνα

Re: Κατάλληλη ακτίνα

Μέλη σε σύνδεση