Απαιτητική ύπαρξη, λίγο πιo πέρα από τα συνηθισμένα.

#1

Έστω μια συνεχής συνάρτηση

στο

για την οποία ισχύει:
$\int_{0}^{1}f\left ( x \right )dx=\int_{0}^{1}xf\left ( x \right )dx$ .
Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi \epsilon \left ( 0,1 \right )$ τέτοιος ώστε:

$\xi ^{2}f\left ( \xi \right )=\int_{0}^{\xi}xf\left ( x \right )dx$

restart · #2

Η λύση της άσκησης βρίσκεται εδώ
https://www.awesomemath.org/wp-pdf-file ... heorem.pdf
Πρόκειται για χρήση του θεωρήματος μέσης τιμής του Flett και το παραπάνω άρθρο έχει αρκετές και εύκολα κατανοητές εφαρμογές του.

#3

restart έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 11, 2020 9:54 am
Η λύση της άσκησης βρίσκεται εδώ
https://www.awesomemath.org/wp-pdf-file ... heorem.pdf
Πρόκειται για χρήση του θεωρήματος μέσης τιμής του Flett και το παραπάνω άρθρο έχει αρκετές και εύκολα κατανοητές εφαρμογές του.

Συγχαρητήρια που ξετρύπωσες τη βιβλιογραφική παραπομπή. Φαντάσου τώρα κάθε φορά που κάποιος προτείνει ένα θέμα, να σπεύδει κάποιος άλλος (που οι κακοπροαίρετοι θα χαρακτήριζαν "έξυπνο") να παραθέσει την πηγή. Ωραία πράματα! Ε;

restart · #4

Καλημέρα κ. Μάγκο. Έχετε δίκιο στην τοποθέτησή σας, αλλά όπως βλέπετε είναι η πρώτη φορά που συμμετέχω στη διαδικασία.Δεν στόχευα να κάνω τον έξυπνο αλλά να βοηθήσω στην ενημέρωση γιατί έχω ασχοληθεί λίγο με το θέμα αυτό.Όπως και να έχει έχετε δίκιο και ζητώ συγγνώμη.

#5

Καλημέρα. Έχει δίκιο ο Θάνος. Και για να είμαι ειλικρινής δεν ήταν αυτή η πηγή που άντλησα την άσκηση. Οφείλω να παραδεχτώ όμως πως το άρθρο που δημοσιεύτηκε είναι εξαιρετικό και περιεκτικότατο.

Tolaso J Kos · #6

Ρίξτε και μια ματιά σε αυτό το θέμα... !

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

chris_gatos έγραψε: ↑
Παρ Απρ 10, 2020 10:36 pm
Έστω μια συνεχής συνάρτηση στο
για την οποία ισχύει:
$\int_{0}^{1}f\left ( x \right )dx=\int_{0}^{1}xf\left ( x \right )dx$ .
Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi \epsilon \left ( 0,1 \right )$ τέτοιος ώστε:

$\xi ^{2}f\left ( \xi \right )=\int_{0}^{\xi}xf\left ( x \right )dx$

Η συνθήκη
$\displaystyle \int_{0}^{1}f\left ( x \right )dx=\int_{0}^{1}xf\left ( x \right )dx$ .
είναι παραπλανιτική
Η η συνάρτηση θα είναι η μηδενική με τετριμμένο το αποτέλεσμα η
θα υπάρχουν

$x_{1},x_{2}\in (0,1)$ με f(x_1)>0,f(x_2)<0

Αυτό μόνο χρειαζόμαστε.

1)περίπτωση.
f(0)=0

Αν δεν ισχύει τότε θα είναι

$\displaystyle x^{2}f(x)< \int_{0}^{x}tf(t)dt,x\in (0,1)$
αλλιώς παίρνουμε την

Υπάρχει $c \in (0,1]$ με
$f(x)\leq f(c),x\in [0,1]$
και προφανώς f(c)>0

.
Τότε όμως

$\displaystyle c^{2}f(c)\leq \int_{0}^{c}tf(t)dt\leq f(c)\frac{c^{2}}{2}$
ΑΤΟΠΟ.

2)περίπτωση.
f(0)>0

Παίρνουμε το $\displaystyle a=sup\left \{ x\in [0,1]:f(t)\geq 0,t\in [0,x] \right \}$

Θα είναι 0<a<1

και

2α)

Αν είναι $\displaystyle x^{2}f(x)> \int_{0}^{x}tf(t)dt,x\in (0,1)$

τότε για x=a

εχουμε ΑΤΟΠΟ.

2β)

Αν είναι $\displaystyle x^{2}f(x)< \int_{0}^{x}tf(t)dt,x\in (0,1)$
τότε

Στο [0,a)

υπάρχει

με

$f(x)\leq f(c),x\in [0,a]$ και f(c)>0

Αν

τότε

$\displaystyle c^{2}f(c)\leq \int_{0}^{c}tf(t)dt\leq f(c)\frac{c^{2}}{2}$
ΑΤΟΠΟ.

Αν c=0

τότε για $x\in (0,a)$ θα είναι

$\displaystyle x^{2}f(x)\leq f(0)\frac{x^{2}}{2}$
δηλαδή

$2f(x)\leq f(0)$

παίρνοντας $x\rightarrow 0$
εχουμε ΑΤΟΠΟ

Για την περίπτωση f(0)<0

θεωρούμε την

και πέφτουμε στην περίπτωση 2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

chris_gatos έγραψε: ↑
Παρ Απρ 10, 2020 10:36 pm
Έστω μια συνεχής συνάρτηση στο
για την οποία ισχύει:
$\int_{0}^{1}f\left ( x \right )dx=\int_{0}^{1}xf\left ( x \right )dx$ .
Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi \epsilon \left ( 0,1 \right )$ τέτοιος ώστε:

$\xi ^{2}f\left ( \xi \right )=\int_{0}^{\xi}xf\left ( x \right )dx$

Γράφω την παραπάνω λύση μου χωρίς την χρήση sup

Η συνθήκη
$\displaystyle \int_{0}^{1}f\left ( x \right )dx=\int_{0}^{1}xf\left ( x \right )dx$ .
είναι παραπλανιτική
Η η συνάρτηση θα είναι η μηδενική με τετριμμένο το αποτέλεσμα η
θα υπάρχουν

$x_{1},x_{2}\in (0,1)$ με f(x_1)>0,f(x_2)<0

Αυτό μόνο χρειαζόμαστε.

1)περίπτωση.
f(0)=0

Αν δεν ισχύει τότε θα είναι

$\displaystyle x^{2}f(x)< \int_{0}^{x}tf(t)dt,x\in (0,1)$
αλλιώς παίρνουμε την

Υπάρχει $c \in (0,1]$ με
$f(x)\leq f(c),x\in [0,1]$
και προφανώς f(c)>0

.
Τότε όμως

$\displaystyle c^{2}f(c)\leq \int_{0}^{c}tf(t)dt\leq f(c)\frac{c^{2}}{2}$
ΑΤΟΠΟ.

2)περίπτωση.
f(0)>0

2α)

Αν είναι $\displaystyle x^{2}f(x)> \int_{0}^{x}tf(t)dt,x\in (0,1)$

τότε για x=a

όπου το

είναι τέτοιο ώστε $f(x)\geq f(a),x\in [0,1]$
θα έχουμε

$\displaystyle a^{2}f(a)\geq \int_{0}^{a}f(t)tdt\geq f(a)\frac{a^{2}}{2}$
Επειδή προφανώς f(a)<0

εχουμε ΑΤΟΠΟ.

2β)

Αν είναι $\displaystyle x^{2}f(x)< \int_{0}^{x}tf(t)dt,x\in (0,1)$
τότε

Στο [0,1]

υπάρχει

με

$f(x)\leq f(c),x\in [0,1]$ και f(c)>0

Αν

τότε

$\displaystyle c^{2}f(c)\leq \int_{0}^{c}tf(t)dt\leq f(c)\frac{c^{2}}{2}$
ΑΤΟΠΟ.

Αν c=0

τότε για $x\in (0,1)$ θα είναι

$\displaystyle x^{2}f(x)\leq f(0)\frac{x^{2}}{2}$
δηλαδή

$2f(x)\leq f(0)$

παίρνοντας $x\rightarrow 0$
εχουμε ΑΤΟΠΟ

Για την περίπτωση f(0)<0

θεωρούμε την

και πέφτουμε στην περίπτωση 2

#9

Εδώ θέλω να ευχαριστήσω τον Σταύρο γιατί σκέφτηκε...ανάποδα (όπως μου αρέσει και εμένα)
και αμφισβήτησε το σενάριο. Θα προσπαθήσω να μελετήσω τη λύση του βήμα προς βήμα.
Να η αξία να γράφει ο λύτης τη λύση του με πλήρη τρόπο τα επιχειρήματά του.
Αυτή είναι και η αξία του φόρουμ. Βλέπουμε και μαθαίνουμε μέσα από διαφορετικούς τρόπους σκέψης.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

chris_gatos έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 11, 2020 8:54 pm
Εδώ θέλω να ευχαριστήσω τον Σταύρο γιατί σκέφτηκε...ανάποδα (όπως μου αρέσει και εμένα)
και αμφισβήτησε το σενάριο. Θα προσπαθήσω να μελετήσω τη λύση του βήμα προς βήμα.
Να η αξία να γράφει ο λύτης τη λύση του με πλήρη τα επιχειρήματά της.
Αυτή είναι και η αξία του φόρουμ. Βλέπουμε και μαθαίνουμε μέσα από διαφορετικούς τρόπους σκέψης.

Ευχαριστώ και εγώ Χρήστο.
Δεν είναι ανάποδη σκέψη τα παραπάνω.
Το να λύνεις τέτοια προβλήματα, χωρίς να ψάχνεις συναρτήσεις που θα εφαρμόσεις
κάποια θεωρήματα και θα πάρεις την λύση ,κατά την γνώμη μου είναι μονόδρομος.
(Τα παραπάνω δεν αναφέρονται σε σχολικά Μαθηματικά)
Η Ανάλυση δεν είναι ισότητες είναι ανισότητες.
(Στο σχολείο δεν γίνεται Ανάλυση.Μια μορφή Calculus γίνεται)

Για να γίνω κατανοητός για μένα το Θ.Μ.Τ είναι :

Εστω $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$
συνεχής συνάρτηση.
Αν για κάθε $x\in (a,b)-A$
είναι $f'(x)\geq 0$
οπου

αριθμήσιμο τότε
$f(b)-f(a)\geq 0$

#11

Σταύρο με το "ανάποδο" εννοούσα αυτό ακριβώς που περιγράφεις.
Να προσπαθήσεις να αναλύσεις την άσκηση στα συστατικά της.

Απαιτητική ύπαρξη, λίγο πιo πέρα από τα συνηθισμένα.

Απαιτητική ύπαρξη, λίγο πιo πέρα από τα συνηθισμένα.

Re: Απαιτητική ύπαρξη, λίγο πιo πέρα από τα συνηθισμένα.

Re: Απαιτητική ύπαρξη, λίγο πιo πέρα από τα συνηθισμένα.

Re: Απαιτητική ύπαρξη, λίγο πιo πέρα από τα συνηθισμένα.

Re: Απαιτητική ύπαρξη, λίγο πιo πέρα από τα συνηθισμένα.

Re: Απαιτητική ύπαρξη, λίγο πιo πέρα από τα συνηθισμένα.

Re: Απαιτητική ύπαρξη, λίγο πιo πέρα από τα συνηθισμένα.

Re: Απαιτητική ύπαρξη, λίγο πιo πέρα από τα συνηθισμένα.

Re: Απαιτητική ύπαρξη, λίγο πιo πέρα από τα συνηθισμένα.

Re: Απαιτητική ύπαρξη, λίγο πιo πέρα από τα συνηθισμένα.

Re: Απαιτητική ύπαρξη, λίγο πιo πέρα από τα συνηθισμένα.

Μέλη σε σύνδεση