ανισοτικές με ΘΜΤ

nikos18 · #1

Έστω συνάρτηση

συνεχής στο $[\alpha ,\beta ]$ και παραγωγίσιμη στο $(\alpha ,\beta )$
με f(x)>1

για κάθε $x\epsilon (\alpha ,\beta )$ . Να δείξετε ότι υπάρχει $x_{_{o}}$ $\epsilon (\alpha ,\beta )$ ώστε $f^{^{2}}(x_{o})>(\beta -\alpha )f{'}(x{o})$ .

Μήοως θα έπρεπε να λέει f(x)>1

για κάθε $x\epsilon [\alpha ,\beta ]$ ;;

nikos18 · #2

Θεωρούμε συνάρτηση $h(x)=\frac{-1}{f(x)}$ , $x\epsilon [\alpha ,\beta ]$ που είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β). Από ΘΜΤ υπάρχει k $\epsilon$ (α,β): $h'(k)=\frac{h(\beta )-h(a)}{\beta -a}$ (1)
Όμως το $f(a)>1, f(\beta )>1$ άρα $1>\frac{1}{f(a)}>0, 1>\frac{1}{f(\beta )}$ >0
Oπότε, με βάση τη σχέση (1), $\frac{f'(k)}{f^{2}(k)}=\frac{\frac{1}{f(\beta)}-\frac{1}{f(a)}}{\beta -\alpha }$

$\frac{1}{\beta -a}$

nikos18 · #3

υπάρχει κάποιος που μπορεί να βοηθήσει ;
Συμφωνείτε ότι θα έπρεπε να δίνεται ότι f(x)>1 στο [α,β] και όχι στο ανοικτό (α,β) ;

#4

nikos18 έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 09, 2017 4:30 pm
υπάρχει κάποιος που μπορεί να βοηθήσει ;
Συμφωνείτε ότι θα έπρεπε να δίνεται ότι f(x)>1 στο [α,β] και όχι στο ανοικτό (α,β) ;

'Όχι, δεν συμφωνούμε. Η άσκηση είναι σωστή. Ξαναδές αυτό το βήμα σου

nikos18 έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 09, 2017 3:47 pm
$\frac{\frac{1}{f(\beta)}-\frac{1}{f(a)}}{\beta -\alpha }$ $\frac{1}{\beta -a}$

υπό το πρίσμα της υπόθεσης που σου δίνεται (δηλαδή η ανισότητα στο ανοικτό ) και πες μας πώς θα βελτιώσεις
τον συλλογισμό σου για το ζητούμενο.

nikos18 · #5

Κε Λάμπρου, σας ευχαριστώ για την απάντηση!
Ωστόσο, πως θα ορίζεται η συνάρτηση h(x)=-1/f(x) αν δε γνωρίζουμε ότι f(x)>1 στο κλειστό [α,β] ;
Αν πάλι ορίσουμε συνάρτηση h(x) στο [κ,λ] υποσύνολο του (α,β), τότε το 1/(κ-λ) είναι μεγαλύτερο του 1/(β-α)... άρα ούτε αυτό γίνεται
Μπορείτε να με βοηθήσετε λίγο περισσότερο ;

#6

nikos18 έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 09, 2017 5:39 pm
Ωστόσο, πως θα ορίζεται η συνάρτηση h(x)=-1/f(x) αν δε γνωρίζουμε ότι f(x)>1 στο κλειστό [α,β] ;
Αν πάλι ορίσουμε συνάρτηση h(x) στο [κ,λ] υποσύνολο του (α,β), τότε το 1/(κ-λ) είναι μεγαλύτερο του 1/(β-α)... άρα ούτε αυτό γίνεται
Μπορείτε να με βοηθήσετε λίγο περισσότερο ;

Θα δώσω υπόδειξη: Από την υπόθεση f(x) >1

στο ανοικτό (a,b)

έπεται από την συνέχεια ότι $f(x) \ge 1$ στο κλειστό [a,b]

. Στα άκρα δηλαδή, μπορεί να έχουμε ισότητα με το

, και ειδικά είναι $\displaystyle{\frac {1}{f(b)} \le 1}$ (θα προτιμούσαμε να είχαμε $\frac {1}{f(b)} < 1$ αλλά δεν μας πτοεί). Ένα το κρατούμενο.

Tώρα, ισχύει f(a)} >0

(γνήσια ανισότητα). Τι σου λέει αυτό για το $\frac {1}{f(b)} - \frac {1}{f(a)}$ ; Γνήσια ανισότητα ή όχι;

Υ.Γ. Καλό είναι να γράφεις σε latex, όπως πολύ ορθά ορίζουν οι κανονισμοί μας...

nikos18 · #7

Σας κατανόησα απόλυτα ... (και απαντώ ότι ισχύει γνήσια ανισότητα).
Σας ευχαριστώ ΘΕΡΜΑ.

Υ.Γ. Σε αυτά που είχα γράψει διορθώνω το εξής $h'(k)=\frac{\frac{1}{f(\alpha )}-\frac{1}{f(\beta )}}{\beta -\alpha }$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

nikos18 έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 09, 2017 3:21 pm
Έστω συνάρτηση συνεχής στο $[\alpha ,\beta ]$ και παραγωγίσιμη στο $(\alpha ,\beta )$
με για κάθε $x\epsilon (\alpha ,\beta )$ . Να δείξετε ότι υπάρχει $x_{_{o}}$ $\epsilon (\alpha ,\beta )$ ώστε $f^{^{2}}(x_{o})>(\beta -\alpha )f{'}(x{o})$ .

Μήοως θα έπρεπε να λέει για κάθε $x\epsilon [\alpha ,\beta ]$ ;;

Σε τέτοιου είδους ασκήσεις το ΘΜΤ είναι άχρηστο.

Προκειμένου να ψάχνεις να βρεις σε ποία συνάρτηση θα το εφαρμόσεις κάνεις τα εξής.

Εστω ότι δεν ισχύει.

Θα είναι $f^{2}(x)\leq (b-a)f'(x)$ για $x\in (a,b)$

Δηλαδή $(\frac{x}{b-a}+\frac{1}{f(x)})'\leq 0$

Αρα η $\frac{x}{b-a}+\frac{1}{f(x)}$ είναι φθίνουσα.

Αρα $\frac{a}{b-a}+\frac{1}{f(a)}\geq \frac{b}{b-a}+\frac{1}{f(b)}$

δηλαδή $\frac{1}{f(a)}-\frac{1}{f(b)}\geq 1$

που είναι ΑΤΟΠΟ (γιατί;)

Να σημειώσω ότι $f(a)=\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)\geq 1$

ανισοτικές με ΘΜΤ

ανισοτικές με ΘΜΤ

Re: ανισοτικές με ΘΜΤ

Re: ανισοτικές με ΘΜΤ

Re: ανισοτικές με ΘΜΤ

Re: ανισοτικές με ΘΜΤ

Re: ανισοτικές με ΘΜΤ

Re: ανισοτικές με ΘΜΤ

Re: ανισοτικές με ΘΜΤ

Μέλη σε σύνδεση