Επέκταση σε βάση

Mathletic · #1

Γειά σας,

θέλω να δείξω ότι το σύνολο $\{3x-x^5, 4x+x^3, 5x-x^5-x^6\}$ στο $\mathbb{Q}[x]$ είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Επίσης θέλω να επεκτείνω το σύνολο σε μια βάση του $\{f\in \mathbb{Q}[x]\mid \deg f\leq 6\}$ .

Έχω κάνει τα εξης:
Για να δείξουμε ότι το σύνολο είναι γραμμικά ανεξάρτητο, πρέπει να δείξουμε το εξή:
$a(3x-x^5)+ b(4x+x^3)+c(5x-x^5-x^6)=0 \iff a=b=c=0$

Στο μηδενικό πολυώνυμο όλοι οι συντελεστές είναι μηδέν.

Οπότε έχουμε:
$(3a+4b+5c)x+bx^3-(a+c)x^5-cx^6=0 \Rightarrow 3a+4b+5c=0 , b=0, a+c=0, c=0$
Άρα έπεται ότι c=a=b=0

, και άρα το σύνολο είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Για την επέκταση του συνόλου σε μία βάση του $\{f\in \mathbb{Q}[x]\mid \deg f\leq 6\}$ πρέπει να βρουμε ποιά πολυώνυμα χρειαζόμαστε ώστε να γραφούν όλα τα πολυώνυμα $x^i, \ 0\leq i\leq 6$ ως γραμμικοί συνδυασμοί των στοιχείων αυτών, ή όχι;

#2

Mathletic έγραψε: Για την επέκταση του συνόλου σε μία βάση του $\{f\in \mathbb{Q}[x]\mid \deg f\leq 6\}$ πρέπει να βρουμε ποιά πολυώνυμα χρειαζόμαστε ώστε να γραφούν όλα τα πολυώνυμα $x^i, \ 0\leq i\leq 6$ ως γραμμικοί συνδυασμοί των στοιχείων αυτών, ή όχι;

Σωστή η απόδειξη της γραμμικής ανεξαρτησίας. Προσθέτω (γιατί θα χρειαστεί στο επόμενο ερώτημά σου) ότι η ίδια απόδειξη δείχνει ότι αν είχαμε οποιαδήποτε πολυώνυμα διαφορετικού βαθμού, τότε είναι ανεξάρτητα. Η απόδειξη είναι άμεση, δείχνοντας πρώτα ότι ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου είναι

. Άρα μπορείς να το σβήσεις. Τώρα έχεις ένα λιγότερο πολυώνυμο και ξανακάνεις το ίδιο επιχείρημα με τον νέο μεγιστοβάθμιο (*).

Προσθέτω ότι εδώ (προς το τέλος του 4ου ποστ) ξαναείδαμε πρόσφατα στο φόρουμ αυτό το επιχείρημα. Ακριβέστερα, επειδή είναι άμεσο, μισοπαραλήφθηκε το βήμα.

Για το δεύτερο ερώτημά σου, η απάντηση είναι καταφατική. Με αυτά που έγραψα δεν θα δυσκολευτείς να βρεις (επτά) γραμμικά ανεξάρτητα πολυώνυμα στον χώρο σου (που προφανώς έχει διάσταση επτά).

(*) Η απόδειξη που μόλις σκιαγράφησα δεν ακριβώς η ίδια με την δική σου, αλλά μία παραλλαγή που αφαιρεί ένα περιττό βήμα. Το περιττό βήμα, πέρα από το ότι δεν χρειάζεται, μάλλον δυσκολεύει κάπως τα πράγματα.

Mathletic · #3

Εφόσον οποιαδήποτε πολυώνυμα διαφορετικού βαθμού είναι ανεξάρτητα, για την βάση θα χρειαστούμε πολυώνυμα βαθμού

,

και

, σωστά;
Μπορούμε να πάρουμε οποιαδήποτε τέτοια πολυώνυμα, για παράδειγμα τα $p_0(x)=1, \ p_1(x)=x, \ p_2(x)=x^2, \ p_4(x)=x^4$ , ή όχι;

#4

Mathletic έγραψε:Εφόσον οποιαδήποτε πολυώνυμα διαφορετικού βαθμού είναι ανεξάρτητα, για την βάση θα χρειαστούμε πολυώνυμα βαθμού , , και , σωστά;
Μπορούμε να πάρουμε οποιαδήποτε τέτοια πολυώνυμα, για παράδειγμα τα $p_0(x)=1, \ p_1(x)=x, \ p_2(x)=x^2, \ p_4(x)=x^4$ , ή όχι;

Ορθότατα.

Επειδή παραπάνω αναφέρθηκα σε κάποιο περιττό βήμα της απόδειξής σου, ας δούμε τι εννοώ.

Θέλουμε να δείξουμε ότι αν
$a(3x-x^5)+ b(4x+x^3)+c(5x-x^5-x^6)=0 , \, {\color {red} \forall x} \, (*)$ τότε a=b=c=0

(το ${\color {red} \forall x}$ ξέχασες να το γράψεις. Όμως είναι σημαντικό. Θα δούμε πού χρειάζεται).

Ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου αριστερά (του x^6

) είναι

ενώ είναι

δεξιά. Επειδή η (*)

ισχύει για άπειρα

(εδώ χρησιμοποίησα το ${\color {red} \forall x}$ ), έπεται c=0

. Η

τώρα γίνεται
$a(3x-x^5)+ b(4x+x^3)=0 , \, {\color {red} \forall x} \, (**)$ .
Με το ίδιο επιχείρημα αλλά με τον νέο μεγιστοβάθμιο (τον x^5

) έπεται

και η

γίνεται
$b(4x+x^3)=0 , \, {\color {red} \forall x} \, (**)$ . Όμοια b=0

και τελειώσαμε.

Σημειώνω ότι το περιττό βήμα που είχες ήταν στο γεγονός ότι ξαναέγραψες το πολυώνυμο, με τις ανιούσες δυνάμεις. Φαντάσου τα πολυώνυμα να είχαν μέχρι

όρους το καθένα (που θα μπορούσε). Θα έγραφες τότε ένα τεράστιο πολυώνυμο με αρκετά σύνθετους συντελεστές (

όρους) και θα έχανες τον μπούσουλα.

Καλό είναι να κρατάμε τις αποδείξεις στο επίπεδο μόνο των απαραίτητων στοιχείων.

Mathletic · #5

Κατάλαβα!!

Μια ερώτηση ακόμα... Ξέρουμε ότι η βάση αποτελείται από 7 στοιχεία, επειδή έχουμε έναν χώρο όπου τα πολυώνυμα έχουν βαθμο i, όπου $0\leq i\leq 6$ ;

#6

Mathletic έγραψε: Μια ερώτηση ακόμα... Ξέρουμε ότι η βάση αποτελείται από 7 στοιχεία, επειδή έχουμε έναν χώρο όπου τα πολυώνυμα έχουν βαθμο i, όπου $0\leq i\leq 6$ ;

Βεβαίως.

Πλερέστερα, τα εν λόγω

πολυώνυμα είναι γραμμικά ανεξάρτητα (σημαντικό) και κάθε άλλο πολυώνυμο στον χώρο είναι γραμμικός τους συνδυασμός.

Mathletic · #7

Ευχαριστώ!!

Επέκταση σε βάση

Επέκταση σε βάση

Re: Επέκταση σε βάση

Re: Επέκταση σε βάση

Re: Επέκταση σε βάση

Re: Επέκταση σε βάση

Re: Επέκταση σε βάση

Re: Επέκταση σε βάση

Μέλη σε σύνδεση