αδύνατη υπερβατική εξίσωση

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Να δείξετε ότι η εξίσωση

$(lnx)e^{x}+1+(lnx)^{2}=0$

είναι αδύνατη για $x\in (0,\infty )$

dement · #2

Για $x \geqslant 1$ η παράσταση είναι προφανώς θετική.

Για x < 1

, από τη διακρίνουσα βλέπουμε ότι, αν υπάρχουν πραγματικές ρίζες, $e^{2x} \geq 4 \implies x \geqslant \ln 2$

Ισχύει $\displaystyle \ln 2 > \frac{2}{3} \implies - \ln (\ln 2) < \ln \left( \frac{3}{2} \right) = \ln \left( 1 + \frac{1}{2} \right) < \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{24} = \frac{5}{12}$ . Έτσι, $\displaystyle - \ln (\ln 2) - \frac{1}{\ln (\ln 2)} > \frac{5}{12} + \frac{12}{5} > e$

Επίσης, για $\ln2 \leqslant x < 1$ έχουμε $(\ln x)^2 + e^x \ln x + 1 > (\ln x)^2 + e \ln x + 1 \geqslant (\ln (\ln 2) )^2 + e (\ln (\ln 2)) + 1$ (λόγω του ότι $\displaystyle \ln (\ln 2) > -1 > - \frac{e}{2}$ ).

Η τελευταία παράσταση όμως έχει αποδειχθεί θετική, που ολοκληρώνει την απόδειξη.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Λίγο διαφορετικά από τον Δημήτρη.
Για $x\geq 1$ προφανώς δεν έχει ρίζα.

1) 0< x< ln2

Εχουμε $e^{x}< 2$ και επειδή lnx< 0

παίρνουμε

$(lnx)e^{x}+1+(lnx)^{2}> 2lnx+(lnx)^{2}+1=(lnx+1)^{2}\geq0$

Αρα δεν έχει ρίζα.

2) $ln2\leq x< 1$

Επειδή $e^{x}< e< 2,8$ και lnx< 0

έχουμε

$(lnx)e^{x}+1+(lnx)^{2}> 2.8(lnx)+1+(lnx)^{2}=(1+lnx)^{2}+0.8lnx$

Επειδή -0.37< ln(ln2)< -0.36

(κομπιουτεράκι)

και η

είναι αύξουσα παίρνουμε

$(1+lnx)^{2}+0.8lnx\geq (1+lnln2)^{2}+0.8lnln2> 0$

που δείχνει οτι δεν έχει ρίζα.

Παρατήρηση.
Για την λύση χρειαζόμαστε υπολογισμούς κάποιων λογαρίθμων.
Ο Δημήτρης ξεπέρασε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας ανισότητα για τον λογάριθμο που
η απόδειξη της είναι εκτός φακέλου.
Ζητάω συγγνώμη αν κάποιος την προσπάθησε νομίζοντας ότι δεν χρειάζεται κομπιουτεράκι.

αδύνατη υπερβατική εξίσωση

αδύνατη υπερβατική εξίσωση

Re: αδύνατη υπερβατική εξίσωση

Re: αδύνατη υπερβατική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση