Χρυσή τομή

#1

Η χρυσή τομή αφορά την εύρεση ενός σημείου Γ το οποίο διαιρεί το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο. Το σημείο Γ είναι απαραίτητα εσωτερικό του ΑΒ ή μπορεί να είναι και εξωτερικό του ΑΒ και πάνω στην ευθεία ΑΒ;
Έψαξα αρκετά και όλες οι αναφορές που βρήκα (εκτός από μία) θεωρούν το Γ εσωτερικό. Μπορεί να είναι εξωτερικό;

#2

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Η χρυσή τομή αφορά την εύρεση ενός σημείου Γ το οποίο διαιρεί το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο. Το σημείο Γ είναι απαραίτητα εσωτερικό του ΑΒ ή μπορεί να είναι και εξωτερικό του ΑΒ και πάνω στην ευθεία ΑΒ;
Έψαξα αρκετά και όλες οι αναφορές που βρήκα (εκτός από μία) θεωρούν το Γ εσωτερικό. Μπορεί να είναι εξωτερικό;

Καλησπέρα.

Όπως διατυπώνεται το πρόβλημα της Χρυσής Τομής, δηλαδή να διαιρέσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα

σε δύο μέρη ώστε το μεγαλύτερο να είναι μέσο ανάλογο του

και του μικρότερου, προκύπτει ότι το $\Gamma$ πρέπει να είναι εσωτερικό σημείο.

ghan · #3

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Η χρυσή τομή αφορά την εύρεση ενός σημείου Γ το οποίο διαιρεί το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο. Το σημείο Γ είναι απαραίτητα εσωτερικό του ΑΒ ή μπορεί να είναι και εξωτερικό του ΑΒ και πάνω στην ευθεία ΑΒ;
Έψαξα αρκετά και όλες οι αναφορές που βρήκα (εκτός από μία) θεωρούν το Γ εσωτερικό. Μπορεί να είναι εξωτερικό;

Στο βιβλίο “Επίπεδη Γεωμετρία Οικονομικού Κύκλου”, των Τάσσου Καλοπίση και Γιώργου Τασσόπουλου (έκδοση 1977) συνάντησα την έκφραση: “Διαίρεση ευθ. τμήματος (εσωτερικά ή εξωτερικά) σε μέσο και άκρο λόγο”, που είναι ανάλογη της έκφρασης: “Διαίρεση τμήματος (εσωτερικά ή εξωτερικά) σε συγκεκριμένο λόγο $\displaystyle{\frac{\mu }{\nu }\ne 1}$ ” (Αρμονική τετράδα), η οποία χρησιμοποιείται σε όλες τις Γεωμετρίες. Προφανώς αν δεν υπάρχει η διάκριση (εσωτερικά ή εξωτερικά) εννοείται και στις δύο περιπτώσεις το εσωτερικό σημείο.
Συγκεκριμένα στις σελίδες $\displaystyle{252-253}$ του εν λόγω βιβλίου αναφέρεται: Να διαιρεθεί (εσωτερικά) δοσμένο ευθ. τμήμα $\displaystyle{AB=\alpha }$ , σε δύο τμήματα $\displaystyle{\Gamma A,\,\,\Gamma B}$ , ώστε $\displaystyle{\Gamma {{A}^{2}}=AB\cdot \Gamma B}$ (πρόβλημα χρυσής τομής).
Αν $\displaystyle{A\Gamma =x}$ , τότε $\displaystyle{\Gamma B=\alpha -x}$ οπότε: $\displaystyle{\Gamma {{A}^{2}}=AB\cdot \Gamma B\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\left( \alpha -x \right)\alpha \Leftrightarrow x\left( x+\alpha \right)={{\alpha }^{2}}\,\,\,\left( 1 \right)}$ . Αν θέσουμε $\displaystyle{x+\alpha =y}$ έχουμε να κατασκευάσουμε δύο τμήματα $\displaystyle{x,\,\,y}$ με $\displaystyle{y-x=\alpha }$ , $\displaystyle{xy={{\alpha }^{2}}}$ (προηγούμενη κατασκευή). Το $\displaystyle{x}$ δίνεται από τον τύπο $\displaystyle{x=\frac{\alpha }{2}\left( \sqrt{5}-1 \right)}$ , θετική ρίζα της εξίσωσης $\left( 1 \right)$ .
Σημείωση
Υπάρχει και σημείο $\displaystyle{{{\Gamma }_{1}}}$ που χωρίζει εξωτερικά το ευθ. τμήμα $\displaystyle{AB}$ σε μέσο και άκρο λόγο και ορίζεται ως τομή της περιφέρειας $\displaystyle{\left( A,\,\,AE \right)}$ με την προέκταση της ημιευθείας $\displaystyle{\left( A,\,\,AB \right)}$ . Τότε $\displaystyle{x=\frac{\alpha }{2}\left( \sqrt{5}+1 \right)}$ .

: ΣΧΗΜΑ 1.PNG (26.14 KiB) Προβλήθηκε 636 φορές

Χρυσή τομή

Χρυσή τομή

Re: Χρυσή τομή

Re: Χρυσή τομή

Μέλη σε σύνδεση