Στατιστική Μηχανική-Θερμοδυναμική

Σ. Διονύσης · #1

Ένα πραγματικά πανέμορφο θέμα που μας δώθηκε στη σχολή ως μέρος της 1ης σειράς ασκήσεων. Πρόκειται για μια πολύ απαιτητική άσκηση, που θέλει και πολύ χρόνο. Ελπίζω να αρέσει σε όποιον τυχόν ασχοληθεί με το θέμα. Αν δε δω ανταπόκριση, θα ποστάρω τη λύση μόλις μπορέσω.

Θεωρούμε ένα κρυσταλλικό πλέγμα

θέσεων, καθεμία από τις οποίες καταλαμβάνεται από ένα μαγνητικό δίπολο, $\mu$ . (Στην πράξη, το δίπολο αυτό οφείλεται στο spin ηλεκτρονίων ή πυρήνων των ατόμων που αποτελούν ένα μαγνητικό υλικό). Τα δίπολα βρίσκονται αρκετά μακριά το ένα από το άλλο, ώστε να μην αλληλεπιδρούν. Κάθε δίπολο υποτίθεται ότι μπορεί να προσλάβει δύο δυνατούς προσανατολισμούς: πάνω ( $\uparrow$ ) και κάτω ( $\downarrow$ ).

Όταν το πλέγμα τοποθετηθεί μέσα σε ένα εξωτερικό μαγνητικό πεδίο,

, ο προσανατολισμός των διπόλων επηρεάζεται. Η ενέργεια ενός διπόλου είναι $-\mu H$ όταν είναι προσανατολισμένο ομόρροπα προς το πεδίο, και $\mu H$ όταν είναι προσανατολισμένο αντίρροπα προς το πεδίο. Εαν

είναι ο αριθμός των διπόλων που είναι προσανατολισμένα αντίρροπα προς το πεδίο σε μιά απεικόνιση του συστήματος, ο αριθμός των διπόλων που είναι προσανατολισμένα ομόρροπα προς το πεδίο στην ίδια απεικόνιση θα είναι L - N

και η ολική ενέργεια της απεικόνισης θα είναι:

$\displaystyle{\mu H N – \mu H(L-N) = (2N-L) \mu H}$

Οι αριθμοί

και

, επομένως και η ενέργεια, διακυμαίνονται καθώς το σύστημα αλλάζει απεικονίσεις σε κατάσταση ισορροπίας.

Η μαγνήτιση

του συστήματος ορίζεται εδώ ως η μέση τιμή της ολικής μαγνητικής ροπής κατά τη διεύθυνση του πεδίου, δηλ.

$\displaystyle{M = \mu(L-<N>) - \mu<N> = (L-2<N>)\mu}$

όπου <N>

είναι η μέση τιμή στατιστικού συνόλου του

υπό δεδομένα L, H

και

.

α. (

μονάδες) Υπολογίστε τη συνάρτηση μερισμού ενός μαγνητικού διπόλου (μοριακή συνάρτηση μερισμού), και κατόπιν τη συνάρτηση μερισμού ολόκληρου του συστήματος των διπόλων υπό σταθερά L, H

και

.
Ορίζουμε κανονική μοριακή συνάρτηση μερισμού,

, (canonical partition function) την συνάρτηση που αντιστοιχεί στην κατανομή Boltzmann ή αλλιώς την πιθανότερη κατανομή του αριθμού των συστημάτων στη μικροκατάσταση

. Ορίζουμε συνάρτηση μερισμού ενός συστήματος,

, τη συνάρτηση που προκύπτει από τη συνεισφορά όλων των μοριακών συναρτήσεων μερισμού, δηλαδή η μικροκατάσταση του συστήματος αποτελεί συνδυασμό μικροκαταστάσεων των επί μέρους μορίων.

β. (

μονάδες) Δείξτε ότι η

μπορεί να εκφρασθεί συναρτήσει της παραγώγου της συνάρτησης μερισμού ως προς το πεδίο

. Χρησιμοποιώντας αυτήν την έκφραση, δείξτε ότι:

$\displaystyle{\frac{M}{L\mu}=tanh\left(\frac{\mu H}{k_B T}\right)}$

Παραστήστε γραφικά την παραπάνω σχέση, τόσο για θετικές όσο και για αρνητικές τιμές του μαγνητικού πεδίου

.

γ. (

μονάδες) Η θερμοχωρητικότητα υπό σταθερό πεδίο,

, oρίζεται ως μερική παράγωγος της εσωτερικής ενέργειας (μέσης ολικής ενέργειας των διπόλων) ως προς τη θερμοκρασία. Δείξτε ότι

$\displaystyle{\frac{C}{k_B L}=\left[\frac{\frac{\mu H}{k_B T}}{cosh\left(\frac{\mu H}{k_B T}\right)}\right]^2}$

Παραστήστε γραφικά την αδιαστατοποιημένη θερμοχωρητικότητα $\displaystyle{\frac{C}{k_B L}}$ συναρτήσει της ανηγμένης θερμοκρασίας $\dfrac{k_B T}{\mu H}}$ . Να συνδέσετε τις παραπάνω σχέσεις που αντιστοιχούν στη μικροσκοπική κατάσταση του συστήματος με τις μακροσκοπικές ιδιότητες του κρυσταλλικού πλέγματος.

**Το k_B

συμβολίζει τη σταθερά Boltzmann.

Στατιστική Μηχανική-Θερμοδυναμική

Στατιστική Μηχανική-Θερμοδυναμική

Μέλη σε σύνδεση