Απορία στα ολοκληρώματα

leuteris · #1

Αν μια συνάρτηση

είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $[\alpha,\beta]$ τότε $\int_{\alpha }^{\beta }{[f(x)-f^{-1}(x)]dx}=2\int_{\alpha }^{\beta }{(f(x)-x)dx}$ .
Ισχύει η παραπάνω πρόταση ή όχι;

Tolaso J Kos · #2

Καλησπέρα Λευτέρη,
κοίτα ισχύει όταν $\displaystyle{f^{-1}>0}$ ότι: $\displaystyle{\int_{0}^{a}f^{-1}(x)dx=\int_{0}^{\beta }(a-f(x))dx}$ όπου $\displaystyle{\beta =f(a)}$ . (σε άλλο απάντησα εδώ, σόρρυ)

Συμπληρώνω: Το εμβαδόν χωρίου μεταξύ $\displaystyle{C_f}$ , $\displaystyle{C_{f^{-1}}}$ είναι το διπλάσιο από το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ $\displaystyle{C_f}$ και $\displaystyle{y=x}$ .

Ελπίζω να σου κάνει η δεύτερη.

leuteris · #3

Καλησπέρα, και ευχαριστώ για την απάντηση.
Η

όμως δε θα πρέπει να είναι και γνησίως αύξουσα;

Tolaso J Kos · #4

Χμμ... δε το γνωρίζω αυτό... αν και το βιβλίο που έχω δίπλα μου αυτή τη στιγμή δε λέει κάτι τέτοιο.
Αν και το σχηματάκι που δίδει είναι μία γνήσια αύξουσα συνάρτηση...

BAGGP93 · #5

Καλησπέρα και από μένα. Θα ήθελα να κάνω μία παρατήρηση.

Η διαφορά δύο συναρτήσεων $\displaystyle{f:A\longrightarrow \mathbb{R}\,\,,g:B\longrightarrow \mathbb{R}}$ ορίζεται

στο $\displaystyle{A\cap B}$ .

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f:\left[0,1\right]\longrightarrow \mathbb{R}\,,f(x)=x+1\,\,(a=0,b=1)}$ .

Αυτή είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\left[0,1\right]}$ με $\displaystyle{f\,\left(\left[0,1\right]\right)=\left[1,2\right]}$ .

Η αντίστροφη συνάρτηση $\displaystyle{f^{-1}}$ ορίζεται στο $\displaystyle{\left[1,2\right]}$ από τον τύπο $\displaystyle{f^{-1}(x)=x-1}$ .

Συνεπώς, η ποσότητα $\displaystyle{\int_{0}^{1}(f(x)-f^{-1}(x))\,dx}$ δεν έχει νόημα.

Νομίζω ότι η εκφώνηση έχει πρόβλημα, θέλει κάμποσες διορθώσεις.

leuteris · #6

Αν λέγαμε:
Αν μια συνάρτηση

είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $[\alpha,\beta]$ και επιπλέον $[\alpha,\beta]\subseteq f([\alpha,\beta])$ τότε $\int_{\alpha }^{\beta }{[f(x)-f^{-1}(x)]dx}=2\int_{\alpha }^{\beta }{(f(x)-x)dx}$ ;

Απορία στα ολοκληρώματα

Απορία στα ολοκληρώματα

Re: Απορία στα ολοκληρώματα

Re: Απορία στα ολοκληρώματα

Re: Απορία στα ολοκληρώματα

Re: Απορία στα ολοκληρώματα

Re: Απορία στα ολοκληρώματα

Μέλη σε σύνδεση