Απορία στους μιγαδικούς

leuteris · #1

Καλησπέρα,
όταν στην υπόθεση μιας άσκησης λέει ότι ένας μιγαδικός κινείται σε κάποια γραμμή, τότε εννοείται ότι ο γεωμετρικός τόπος του μιγαδικού είναι ολόκληρη η γραμμή ή ο γεωμετρικός τόπος μπορεί να είναι π.χ. η μισή γραμμή;

kostas_zervos · #2

leuteris έγραψε:Καλησπέρα,
όταν στην υπόθεση μιας άσκησης λέει ότι ένας μιγαδικός κινείται σε κάποια γραμμή, τότε εννοείται ότι ο γεωμετρικός τόπος του μιγαδικού είναι ολόκληρη η γραμμή ή ο γεωμετρικός τόπος μπορεί να είναι π.χ. η μισή γραμμή;

Όταν ένας μιγαδικός κινείται σε κάποια γραμμή δεν σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος είναι η γραμμή.

π.χ. ο μιγαδικός $z=t^2+2it^2\;\;,\;t\in\Bbb{R}$ κινείται στην ευθεία y=2x

, αλλά ο γεωμετρικός τόπος του είναι η ημιευθεία $y=2x\;,\;x\geq 0$ .

Έτσι και όταν δίνεται στην εκφώνηση μιας άσκησης , ότι ένας μιγαδικός κινείται σε κάποια γραμμή δεν σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος είναι η γραμμή.

leuteris · #3

Ευχαριστώ πολύ κύριε Κώστα.
Δηλαδή αν μια άσκηση λέει:
"Έστω οι μιγαδικοί

και

για τους οποίους ισχύει $\displaystyle{zw=1+i}$ .Υποθέτουμε ότι η εικόνα $\displaystyle{M}$ του μιγαδικού

κινείται πάνω στον κύκλο με κέντρο $\displaystyle{K(0,1)}$ και ακτίνα $\displaystyle{\rho =1}$ .Να βρείτε τον μιγαδικό $\displaystyle{w}$ με το ελάχιστο μέτρο."
τότε μπορούμε να βρούμε το γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών $\displaystyle{w}$ (ενώ δε γνωρίζουμε το γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών $\displaystyle{z}$ ) ώστε να υπολογίσουμε την ελάχιστη απόσταση;

kostas_zervos · #4

leuteris έγραψε:Ευχαριστώ πολύ κύριε Κώστα.
Δηλαδή αν μια άσκηση λέει:
"Έστω οι μιγαδικοί και για τους οποίους ισχύει $\displaystyle{zw=1+i}$ .Υποθέτουμε ότι η εικόνα $\displaystyle{M}$ του μιγαδικού κινείται πάνω στον κύκλο με κέντρο $\displaystyle{K(0,1)}$ και ακτίνα $\displaystyle{\rho =1}$ .Να βρείτε τον μιγαδικό $\displaystyle{w}$ με το ελάχιστο μέτρο."
τότε μπορούμε να βρούμε το γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών $\displaystyle{w}$ (ενώ δε γνωρίζουμε το γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών $\displaystyle{z}$ ) ώστε να υπολογίσουμε την ελάχιστη απόσταση;

Ένας τρόπος είναι να βρεις που κινείται η εικόνα του

και στη συνέχεια το ελάχιστο μέτρο του , καθώς και τον μιγαδικό που αντιστοιχεί σε αυτό. Πρέπει όμως να υπάρχει και αντίστοιχη τιμή για τον

.

Ένας άλλος τρόπος είναι να παρατηρήσεις ότι $|z||w|=\sqrt{2}$ , άρα $|w|=\dfrac{\sqrt{2}}{|z|}$ , επομένως το μέτρο του

γίνεται ελάχιστο , όταν το |z|

γίνεται μέγιστο....

leuteris · #5

Εγώ σκέφτηκα ότι:
ο μιγαδικός

κινείται στην ευθεία y=x-1

.Το σημείο της ευθείας με την ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων είναι το $M(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ .Για να ελέγξω αν αυτό το σημείο ανήκει στο γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών

αντικαθιστώ στη σχέση zw=1+i

ώστε να δω άμα βγάλει κάτι που ισχύει.Έτσι από αυτή τη σχέση προκύπτει ότι z=2i

, δηλαδή ότι το σημείο A(0,2)

είναι εικόνα ενός μιγαδικού

, δηλαδή ότι το σημείο A(0,2)

ανήκει στο γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών

.Δεν ξέρουμε όμως αυτό αν ισχύει αφού η άσκηση δίνει μόνο τη γραμμή στην οποία κινείται ο μιγαδικός

Μου ξεφεύγει κάτι;

kostas_zervos · #6

leuteris έγραψε:Εγώ σκέφτηκα ότι:
ο μιγαδικός κινείται στην ευθεία .Το σημείο της ευθείας με την ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων είναι το $M(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ .Για να ελέγξω αν αυτό το σημείο ανήκει στο γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών αντικαθιστώ στη σχέση ώστε να δω άμα βγάλει κάτι που ισχύει.Έτσι από αυτή τη σχέση προκύπτει ότι , δηλαδή ότι το σημείο είναι εικόνα ενός μιγαδικού , δηλαδή ότι το σημείο ανήκει στο γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών .Δεν ξέρουμε όμως αυτό αν ισχύει αφού η άσκηση δίνει μόνο τη γραμμή στην οποία κινείται ο μιγαδικός
Μου ξεφεύγει κάτι;

Από που προκύπτει ότι ο μιγαδικός

κινείται στην ευθεία y=x-1

;

Άκυρο... βρήκα και εγώ ότι κινείται στην $\color{red}y=-x-1$ (έχουμε μια διαφορά στο πρόσημο...) οπότε βγαίνει ο z=2

για $|w|_{min}$ ο ίδιος που βγαίνει με τον εναλλακτικό τρόπο που είπα παραπάνω.

maiksoul · #7

Καλησπέρα, νομίζω ότι μερικές φορές υπάρχουν πράγματα που υπονοούνται σε μια άσκηση και δεν αναφέρονται ως δεδομένα, έτσι όταν λέμε ότι ένα σημείο κινείται "πάνω στη γραμμή" εννοούμε ακριβώς αυτό το προφανές, ότι δηλαδή το σημείο μπορεί να βρίσκεται οπουδήποτε πάνω στη γράμμη. Εξάλλου σε άλλη περίπτωση η εκφώνηση θα έπρεπε να λέει ότι το σημείο κινείται σε "τμήμα(-τα) της γραμμής", το οποίο για να μην αναφέρεται παει να πει ότι αυτό δεν συνβαίνει. Δηλαδή από την εκφώνηση ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ως φυσικό επακόλουθο (δεδομένο), σύμφωνα με την κοινή αντίληψη της πραγματικότητας, ότι το σημείο (αφού) κινείται (είναι) οπουδήποτε στη γραμμή. Με εκτίμηση.

kostas_zervos · #8

Στο παραπάνω παράδειγμα η εικόνα του

κινείται στον κύκλο εκτός του σημείου O(0,0)

(γιατί τότε δεν μπορεί να συμβαίνει zw=1+i

) , άρα δεν κινείται σε ολόκληρο τον κύκλο.

maiksoul · #9

Ευχαριστώ για την απάντηση, χάριν διαλόγου, στο παράδειγμα του μαθητή πράγματι ο μιγαδικός δεν κινείται σε ολόκληρο τον κύκλο, αυτό συμβαίνει διότι (όπως πολύ σωστά αναφέρετε) η ΙΔΙΑ η εκφώνηση της άσκησης κατέστησε σαφές ότι ο μιγαδικός δεν κινείται ελεύθερα στον κύκλο αλλά με τέτοιο τρόπο ώστε να ισχύει...(ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ), δηλαδή κινείται στον κύκλο οπουδήποτε ικανοποιείται και ο περιορισμός . Εδώ δηλαδή μπορούμε να πούμε στον μαθητή ότι η έκφραση "ο μιγαδικός κινείται στη...γραμμή, ώστε να συμβαίνει...(περιορισμός)" σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος είναι όλα τα σημεία της γραμμής που ικανοποιούν τον περιορισμό. Για να βρεθεί όμως ο γ.τ. αυτός ίσως κάποιες φορές χρειάζεται αυξημένη παρατηρητικότητα γι αυτό θα ήταν προτιμότερο αρχικά να θεωρήσει ότι ο μιγαδικός διαγράφει όλη τη γραμμή και στη συνέχεια αν και εφόσον η ίδια η πορεία της επίλυσης τον οδηγήσει σε συγκεκριμένα (μεμονωμένα) σημεία της γραμμής που(φαινομενικά) επιλύουν το αρχικό πρόβλημα τότε στη συνέχεια να επαληθεύσει ποια(και να δεχτεί ως λύσεις όσα) από αυτά ικανοποιούν τον περιορισμό. Στο παράδειγμα το δικό σας που δώσατε αμέσως μόλις ο μαθητής εξέφρασε την απορία του, κατά την γνώμη μου, ο μιγαδικός δεν...κινείται στην ευθεία(αφού δεν μπορεί να βρεθεί οπουδήποτε πάνω της) αλλά βρίσκεται σε αυτήν, θέλω να πω ότι άλλο το νόημα της λέξης "κινείται" και άλλο της λέξης "βρίσκεται". Με εκτίμηση και χάριν διαλόγου όπως προείπα.

leuteris · #10

Ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις σας, αλλά πως προκύπτει ότι ο μιγαδικός

κινείται στην ευθεία y=-x-1

;
Εμένα μου βγαίνει η ευθεία y=x-1

...
Μπορείτε να γράψετε λίγο πιο αναλυτικά τη λύση;

maiksoul · #11

Νομίζω ,αν δεν κάνω λάθος, ότι η ευθεία είναι.... αυτή που βρήκες! Καμιά φορά οι πράξεις μας ταλαιπωρούν.

pana1333 · #12

Καλησπέρα. Αν θες να στείλω και αναλυτικά τη λύση αλλά δεν νομίζω ότι χρειάζεται. Η ευθεία είναι η y=x-1

.

kostas_zervos · #13

leuteris έγραψε:Ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις σας, αλλά πως προκύπτει ότι ο μιγαδικός κινείται στην ευθεία ;
Εμένα μου βγαίνει η ευθεία ...
Μπορείτε να γράψετε λίγο πιο αναλυτικά τη λύση;

Είδα λάθος το κέντρο το πήρα για K(1,0)

και μετά έγραψα και την ευθεία λάθος στο παραπάνω μήνυμα ....

Συνοπτικά η λύση: (με το λάθος κέντρο...)

Έστω $z=a+bi\;,\;w=x+yi$ ...

Τότε $(a-1)^2+b^2=1\;\;(1)$ .

Επίσης $(a+bi)(x+yi)=1+i\iff \begin{cases}ax-by=1\\ay+bx=1\end{cases}$ και λύνοντας ως προς a,b

έχουμε

$a=\dfrac{x+y}{x^2+y^2}\;,\;b=\dfrac{x-y}{x^2+y^2}$ με $x^2+y^2\neq 0$ αφού $w\neq 0$ .

Άρα από την $(1)\Rightarrow \left(\dfrac{x+y}{x^2+y^2}-1\right)^2+\left(\dfrac{x-y}{x^2+y^2}\right)^2=1\iff$

$\iff \left[x^2+y^2-(x+y)\right]^2+(x-y)^2=\left(x^2+y^2\right)^2\iff$

$\iff \left(x^2+y^2\right)^2-2(x+y)\left(x^2+y^2\right)+(x+y)^2+(x-y)^2=\left(x^2+y^2\right)^2\iff$

$\iff 2\left(x^2+y^2\right)-2(x+y)\left(x^2+y^2\right)=0\iff$

$\iff 2\left(x^2+y^2\right)(1-x-y)=0\overset{x^2+y^2\neq 0}{\iff} y=-x+1$ .

Απορία στους μιγαδικούς

Απορία στους μιγαδικούς

Re: Απορία στους μιγαδικούς

Re: Απορία στους μιγαδικούς

Re: Απορία στους μιγαδικούς

Re: Απορία στους μιγαδικούς

Re: Απορία στους μιγαδικούς

Re: Απορία στους μιγαδικούς

Re: Απορία στους μιγαδικούς

Re: Απορία στους μιγαδικούς

Re: Απορία στους μιγαδικούς

Re: Απορία στους μιγαδικούς

Re: Απορία στους μιγαδικούς

Re: Απορία στους μιγαδικούς

Μέλη σε σύνδεση