Ολοκλήρωμα πολυωνύμου

peter · #1

Έστω

πολυώνυμο βαθμού $n\geqslant 2$ το οποίο έχει τις εξής ιδιότητες:

(α) Όλες οι ρίζες του είναι πραγματικές.

(β) Είναι f(-1)=f(1)=0

και $f(x)\neq 0$ για κάθε $x\in (-1,1)$ .

(γ) Είναι $\max_{x\in (-1,1)}f(x)=1$ .

Αποδείξτε ότι ισχύει $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)\, dx \leqslant \frac{4}{3}$ .

#2

Επαναφορά.

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Το παραπάνω αποτέλεσμα οφείλεται στους Erdos και Grunwald και υπάρχει στην εργασία τους

On polynomials with only real roots (1939).

Μάλιστα υπάρχει και επιπλέον ανισότητα από την άλλη μεριά.

Το $\dfrac{4}{3}$ είναι ουσιαστικά τα $\dfrac{2}{3}$ του εμβαδού

ορθογωνίου παραλληλογράμμου με βάση

(άκρα τα

και ύψος $\max f =1$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Απόδειξη ενός γενικότερου αποτελέσματος υπάρχει στο
https://www.researchgate.net/publicatio ... T_Grunwald

Ολοκλήρωμα πολυωνύμου

Ολοκλήρωμα πολυωνύμου

Re: Ολοκλήρωμα πολυωνύμου

Re: Ολοκλήρωμα πολυωνύμου

Re: Ολοκλήρωμα πολυωνύμου

Μέλη σε σύνδεση