Ανισότητες

erxmer · #1

Για κάθε τρίγωνο ABC να αποδειχθεί ότι
1)
$a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2\leq 6\sqrt{3}R^2(2R-r)$ .

2)
$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}\geq 4-\frac{2r}{R}$

3)
$cosA+cosB+cosC+\frac{1}{3}(cos3B+cos3C)\geq \frac{5}{6}$ , ABC = οξυγώνιο

#2

Μια απόδειξη της 1).

Το αριστερό μέλος της (1) γράφεται

$\displaystyle{a(2s-2a)^2+b(2s-2b)^2+c(2s-2c)^2=4[a(s-a)^2+b(s-b)^2+c(s-c)^2]=4[s^2 (a+b+c)+a^3+b^3+c^3-2s(a^2+b^2+c^2)]=}$
$\displaystyle{=8 E(2R-r)}$ ,

όπου έγινε χρήση των σχέσεων

$\displaystyle{a^3+b^3+c^3=2s(s^2-3r^2-6Rr)}$ και $\displaystyle{a^2+b^2+c^2=2(s^2-r^2-4Rr)}$ .

Επειδή είναι $\displaystyle{2R-r>0,}$ αρκεί να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{E\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2,}$ η οποία ισχύει αφού π.χ. προκύπτει από την $\displaystyle{\sin A\sin B\sin C\leq \frac{3\sqrt{3}}{8}}$

ή διαφορετικά από τις αν ισότητες $\displaystyle{a^2+b^2+c^2\leq 9R^2}$ και $\displaystyle{a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}E.}$

Για την 2)

Με χρήση των σχέσεων $\displaystyle{abc=4sRr}$ και $\displaystyle{a^3+b^3+c^3=2s(s^2-3r^2-6Rr)}$ ,

η προς απόδειξη γράφεται $\displaystyle{s^2\geq 14Rr-r^2,}$ η οποία προκύπτει από την ανισότητα Gerretsen $\displaystyle{s^2\geq 16Rr-5r^2}$ και την Euler $\displaystyle{R\geq 2r.}$

iosifile · #3

Μια διαφορετική απόδειξη για τη 2)

Θέτω S=a+b+c , Q=ab+bc+ca

και

Τότε

$r=\frac{\sqrt{-S^4+4QS^2-8PS}}{2S}$

$R=\frac{P}{\sqrt{-S^4+4QS^2-8PS}}$

Επομένως, η προς απόδειξη σχέση γίνεται

$\frac{S^3-3QS+3P}{P}\geq 4-\frac{2(-S^4+4QS^2-8PS)}{2PS}$
και κάνωντας πράξεις καταλήγουμε στη σχέση
$QS\geq 9P$
η οποία ισχύει

Ανισότητες

Ανισότητες

Re: Ανισότητες

Re: Ανισότητες

Μέλη σε σύνδεση