Με αφορμή κάτι άλλο ...

#1

... να δειχθεί ότι ισχύει η

$1+a^2b^4+a^4b^2-ab-a^3b^2-a^2b^3\geq0$

για a>0

,

.

Γιώργος Μπαλόγλου

Σ. Διονύσης · #2

Λάθος λύση...

#3

Γεια σου Γιώργο! Υποθέτω ότι το πρόβλημα αντλείται από εδώ.

Η αποδεικτέα γράφεται

$\displaystyle{\Big(\frac{1}{ab}\Big)^2+b^2+a^2\geq \frac{1}{ab}+a+b.}$

Θέτουμε $\displaystyle{c=\frac{1}{ab},}$ οπότε $\displaystyle{abc=1}$ και έχουμε να αποδείξουμε

$\displaystyle{a^2+b^2+c^2\geq a+b+c.}$

Αυτή μπορεί να αποδειχθεί με πολλούς τρόπους. Ένας είναι ο ακόλουθος:

Είναι $\displaystyle{(x-1)^2\geq 0\implies x^2\geq 2x-1.}$

Άρα

$\displaystyle{a^2+b^2+c^2\geq 2(a+b+c)-3=(a+b+c)+(a+b+c-3)\geq a+b+c,}$

αφού, από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ είναι $\displaystyle{a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3.}$

G.Bas · #4

matha έγραψε:οπότε και έχουμε να αποδείξουμε

$\displaystyle{a^2+b^2+c^2\geq a+b+c.}$

Και μια άλλη απόδειξη.

Είναι σύμφωνα με τις Ανισότητες Cauchy-Schwarz και AM-GM

$\displaystyle{a^2+b^2+c^2\geq\frac{(a+b+c)^2}{3}\geq\sqrt[3]{abc}\cdot (a+b+c)=a+b+c.}$

Με αφορμή κάτι άλλο ...

Με αφορμή κάτι άλλο ...

Re: Με αφορμή κάτι άλλο ...

Re: Με αφορμή κάτι άλλο ...

Re: Με αφορμή κάτι άλλο ...

Μέλη σε σύνδεση