Απορια στην εννοια της πιθανοτητας

pito · #21

Τελικά ο συλλογισμός του κυρίου Ρίζου είναι σωστός;;;

#22

Όχι δεν είναι σωστός. Αν ο μύλος δεν ξαναγυρίζει τότε αν η σφαίρα είναι στην πρώτη θαλάμη θα πεθάνει ο πρώτος παίκτης, αν είναι στην δεύτερη θα πεθάνει ο δεύτερος κ.τ.λ. Αυτά τα ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα και άρα κάθε παίκτης έχει πιθανότητα ακριβώς 1/6

να πεθάνει.

Η πιθανότητα που υπολογίζει ο Γιώργος είναι η πιθανότητα να πεθάνει ο δεύτερος παίκτης γνωρίζοντας ότι ο πρώτος επέζησε. Με την ίδια λογική όπως πιο πάνω αυτή η πιθανότητα είναι 1/5

. Ο τύπος που χρησιμοποιεί ο Γιώργος είναι σωστός. Το $P(B \cap A')$ όμως που είναι η πιθανότητα να πεθάνει ο δεύτερος και να επιζήσει ο πρώτος, δηλαδή η σφαίρα να μην βρίσκεται στην πρώτη θαλάμη και επιπλέον να βρίσκεται στην δεύτερη, ισούται με 1/6

και όχι με 1/5

. Χρησιμοποιώντας το σωστό 1/6

ο τύπος θα δώσει $\displaystyle{\frac{1/6}{5/6} = \frac{1}{5}}$ που είναι και το σωστό.

Στην περίπτωση που ο μύλος ξαναγυρίζει ο πρώτος πεθαίνει είτε στην πρώτη σφαίρα με πιθανότητα 1/6

είτε όλοι γλυτώνουν την πρώτη τους σφαίρα και πεθαίνει στην δεύτερη και αυτό συμβαίνει με πιθανότητα (5/6)^6(1/6)

, είτε γλυτώνουν όλοι τις πρώτες δυο σφαίρες και ο πρώτος παίκτης πεθαίνει στην τρίτη. Αυτό συμβαίνει με πιθανότητα $(5/6)^{12}(1/6)$ κ.τ.λ. Συνολικά η πιθανότητα να πεθάνει ο πρώτος παίκτης ισούται με $\displaystyle{ \frac{1}{6}\left(1 + \left(\frac{5}{6}\right)^6 + \left(\frac{5}{6}\right)^{12} + \cdots \right) = \frac{1}{6}\frac{1}{1 - \left(\frac{5}{6}\right)^6} = \frac{7776}{31031}}$ . Ομοίως δουλεύουμε και για τους άλλους παίκτες.

[Ένας πιο σύντομος τρόπος είναι να γράψουμε

για την πιθανότητα να πεθάνει ο πρώτος παίκτης. Ποια είναι τώρα η πιθανότητα να πεθάνει ο δεύτερος παίκτης; Πρέπει πρώτα να επιζήσει ο πρώτος παίκτης στην πρώτη προσπάθεια. Αυτό γίνεται με πιθανότητα 5/6

. Εφόσον όμως συμβεί αυτό είναι σαν να ξεκινάμε καινούργιο παιγνίδι με τον δεύτερο παίκτη να γίνεται πρώτος. Επομένως η πιθανότητα να πεθάνει αυτός είναι 5p/6

. Ομοίως για τον τρίτο είναι (5/6)^2p

κ.τ.λ. Τέλος επειδή σίγουρα κάποιος θα πεθάνει (αυτό θέλει απόδειξη!) έχουμε $p(1 + 5/6 + \cdots + (5/6)^5) = 1$ οπότε υπολογίζουμε το

.]

#23

Δημήτρη
μέχρι να το υπολογίσουμε ο τελευταίος παίκτης θα έχει πεθάνει από ...ανία

Χρήστος

pito · #24

Κύριε Δημήτρη σας ευχαριστώ για την απάντηση.

Κύριε Χρήστο αυτό θα πω και εγώ στους μαθητές αν με ρωτήσουν

Απορια στην εννοια της πιθανοτητας

Re: Απορια στην εννοια της πιθανοτητας

Re: Απορια στην εννοια της πιθανοτητας

Re: Απορια στην εννοια της πιθανοτητας

Re: Απορια στην εννοια της πιθανοτητας

Μέλη σε σύνδεση