U721 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Το παρακάτω θέμα προτάθηκε από τον Nguyen Viet Hung, Hanoi University of Science, Vietnam στο πρώτο τεύχος του 2026.
Η ημερομηνία υποβολής λύσεων παρήλθε, έτσι μπορώ να το μοιραστώ μαζί σας.
Θα μπορούσε να ήταν ένα καλό θέμα Ανάλυσης 1ης Δέσμης πριν από 40 χρόνια...

Για κάθε θετικό ακέραιο

έστω $S_{n}=1+2+...+n$ και

$\displaystyle P_{n}=\frac{S_{2}}{S_{2}-1}\cdot\frac{S_{3}}{S_{3}-1}\cdot \cdot\cdot \frac{S_{n}}{S_{n}-1}\cdot$

Yπολογίστε το $\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow +\infty} P_{n} .$

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 16, 2026 10:30 pm
Για κάθε θετικό ακέραιο έστω $S_{n}=1+2+...+n$ και

$\displaystyle P_{n}=\frac{S_{2}}{S_{2}-1}\cdot\frac{S_{3}}{S_{3}-1}\cdot \cdot\cdot \frac{S_{n}}{S_{n}-1}\cdot$

Yπολογίστε το $\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow +\infty} P_{n} .$

.
Είναι $S_n= \dfrac {1}{2} n(n+1)$ . Από αυτό θα δείξουμε επαγωγικά ότι $P_n = \dfrac {3n}{n+2}$ για $n\ge 2$ . Πράγματι για n=2

είναι

$P_{2}=\dfrac{S_{2}}{S_{2}-1}= \dfrac{3}{2}$ (σωστό).

Για το επαγωγικό βήμα

$P_{N+1}= P_N\cdot \dfrac {S_{N+1}}{S_{N+1}-1}=\dfrac {3N}{N+2}\cdot \dfrac {\dfrac {1}{2} (N+1)(N+2)} {\dfrac {1}{2} (N+1)(N+2)-1} =$

$=\dfrac {3N}{N+2}\cdot {\dfrac {(N+1)(N+2)} {(N+1)(N+2)-2} = \dfrac {3N}{N+2}\cdot \dfrac {(N+1)(N+2)} {N(N+3)} = \dfrac {3(N+1)}{N+3}$ , όπως θέλαμε.

Άρα $\boxed {\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{n} = 3 }$

U721 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

U721 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: U721 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Μέλη σε σύνδεση