Τρίτη παράγωγος ταυτοτικῶς μηδενική

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

Πρόβλημα. Ἔστω $f:\mathbb R\to\mathbb R$ τρὶς παραγωγίσιμη. Ἄν διὰ κάθε $x\in\mathbb R$ , δείξατε ὅτι $f'''\equiv0$ .

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Θα αποδείξουμε κάτι γενικότερο.

Ἔστω $f:\mathbb R\to\mathbb R$ συνάρτηση $2\le n$ φορές παραγωγίσιμη. Ἄν $f(x)f^{(n)}(x)=0$ , γιὰ κάθε $x\in\mathbb R$ τότε $f^{(n)}\equiv0$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ για n=0,1

ισχύει τετριμμένα

ΣΗΜΕΙΩΣΗ η απόδειξη που θα ακολουθήσει ισχύει και για την περίπτωση που έχουμε το γινόμενο των παραγώγων της

(ή κάποιων από αυτες) $\prod_{k=0}^{n} f^{(k)}(x)$ οπότε μπορούμε να πάμε και λίγο πιο γενικά.

Έστω αντίθετα από το ζητούμενο ότι $f^{(n)}(x_o) \ne0$ σε κάποιο x_o

Ισχύει ότι υπάρχει κάποιο $\delta>0$ ώστε η $f^{(n-1)}$ να διατηρεί πρόσημο στα διαστήματα $(x_o- \delta , x_o)$ και $(x_o, x_o+ \delta)$ είτε θετικό, είτε αρνητικό.

Στην περίπτωση που $f^{(n-1)}(x_o)\ne0$ αυτο προκύπτει από τη συνέχεια της $f^{(n-1)}$ ,
ενώ στην περίπτωση που $f^{(n-1)}(x_o)=0$ αυτο προκύπτει από τον ορισμό της $f^{(n)}(x_o)=(f^{(n-1)})'(x_o)$ και τις ιδιότητες των ορίων.

Λόγω του θεωρήματος Rolle η εξίσωση f(x)=0

μπορεί να έχει το πολύ n-1

ρίζες σε καθένα από αυτά τα διαστήματα
(μπορεί να αποδεχθεί με άτοπο, υποθέτοντας ότι έχει

ρίζες οπότε η

από το θεώρημα Rolle θα έχει n-1

ρίζες κ.ο.κ.)
οπότε χωρίς περιορισμό της γενικότητας μπορούμε να θεωρήσουμε ότι δεν έχει καμία ρίζα σε αυτά τα διαστήματα.
(με απλά λόγια η

και όλες οι παράγωγοί της μέχρι και τάξης n-2

έχουν το πολύ πεπερασμένου πλήθους ρίζες στα διαστήματα αυτά)

Από τη δεδομένη εξίσωση έπεται ότι η $f^{(n)}$ θα μηδενίζεται ταυτοτικά σε αυτά τα διαστήματα, οπότε δεν θα μπορεί να έχει την ιδιότητα των ενδιαμέσων τιμών στο διάστημα $(x_o-\delta,x_o+\delta)$ πού της εξασφαλίζει η εφαρμογή του θεωρήματος Darboux στην $f^{(n-1)}$ άτοπο $\blacksquare$

Γ.-Σ. Σμυρλής · #3

Γενικεύεται περαιτέρω:

Ἂν $f:I\to\mathbb R$ ἄπειρες φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση, ὥστε διὰ κάθε $x\in I$ , ὑπάρχει $n\in\mathbb N$ , ὥστε
$f^{(n)}(x)=0$ , τότε ἡ εἶναι πολυώνυμο.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #4

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 27, 2025 9:42 pm
Γενικεύεται περαιτέρω:

Ἂν $f:I\to\mathbb R$ ἄπειρες φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση, ὥστε διὰ κάθε $x\in I$ , ὑπάρχει $n\in\mathbb N$ , ὥστε
$f^{(n)}(x)=0$ , τότε ἡ εἶναι πολυώνυμο.

Ωραιότατο αποτέλεσμα!

https://mathoverflow.net/questions/3405 ... MS4wLjAuMA..

Τρίτη παράγωγος ταυτοτικῶς μηδενική

Τρίτη παράγωγος ταυτοτικῶς μηδενική

Re: Τρίτη παράγωγος ταυτοτικῶς μηδενική

Re: Τρίτη παράγωγος ταυτοτικῶς μηδενική

Re: Τρίτη παράγωγος ταυτοτικῶς μηδενική

Μέλη σε σύνδεση