Σύγκλιση σειράς

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $\displaystyle f:(0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}^{+}$
παραγωγίσιμη και κοίλη.
Αν
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=a\in \mathbb{R}$
τότε η σειρά
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{f'(n)}{f(n)}$
συγκλίνει.

Tolaso J Kos · #2

Ελπίζω τα παρακάτω να μην είναι λάθος ...

Επειδή η

είναι κοίλη και θετική, έπεται ότι είναι αύξουσα. Επίσης,

$\displaystyle{\left( \frac{f'(x)}{f(x)} \right)' = \frac{f''(x)}{f(x)} - \left( \frac{f'(x)}{f(x)} \right)^2 < 0}$
που σημαίνει ότι η ακολουθία μέσα στη σειρά είναι φθίνουσα. Τέλος,

$\displaystyle{\int_1^\infty \frac{f'(x)}{f(x)} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \ln f(x) - \ln f(1) < \infty}$
Από το ολοκληρωτικό κριτήριο η ζητούμενη σειρά συγκλίνει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 17, 2023 2:57 pm
Ελπίζω τα παρακάτω να μην είναι λάθος ...

Επειδή η είναι κοίλη και θετική, έπεται ότι είναι αύξουσα. Επίσης,

$\displaystyle{\left( \frac{f'(x)}{f(x)} \right)' = \frac{f''(x)}{f(x)} - \left( \frac{f'(x)}{f(x)} \right)^2 < 0}$
που σημαίνει ότι η ακολουθία μέσα στη σειρά είναι φθίνουσα. Τέλος,

$\displaystyle{\int_1^\infty \frac{f'(x)}{f(x)} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \ln f(x) - \ln f(1) < \infty}$
Από το ολοκληρωτικό κριτήριο η ζητούμενη σειρά συγκλίνει.

Σωστότατο.
Η δική μου αντιμετώπιση είναι
Για n>x_0

είναι

$\displaystyle 0\leq \frac{f'(n)}{f(n)}\leq \frac{2}{a}f'(n)\leq \frac{2}{a}(f(n)-f(n-1))$

Σύγκλιση σειράς

Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Μέλη σε σύνδεση