άθροισμα διαστήματος με το σύνολο των ρητών

kostastheoxaropoulos · #1

Καλησπέρα είμαι πρωτοετής φοιτητής στο πανεπιστήμιο Αθηνών και ειναι η πρώτη μου δημοσίευση. Είχα την εξής ,ας το πούμε, απορία. Αν $\left [ a,b \right ]$ ή $\left ( a,b \right )$ όπου a< b

είναι διάστημα στο $\mathbb{R}$ , ισχύει ότι $\left [ a,b \right ]+ \mathbb{Q}= \mathbb{R}$ (όπου $A+B=\left \{ a+b:a\in A,b\in B \right \}$ ); Επίσης θα ίσχυε το ίδιο αν αντί του διαστήματος είχαμε απλώς ένα υπεραριθμήσιμο σύνολο; Μου φαίνεται ότι το πρώτο είναι τελείως προφανές και ότι το δεύτερο δεν ισχύει πάντα απλώς ήθελα μια επιβεβαίωση.

#2

kostastheoxaropoulos έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 07, 2022 1:25 pm
Καλησπέρα είμαι πρωτοετής φοιτητής στο πανεπιστήμιο Αθηνών και ειναι η πρώτη μου δημοσίευση. Είχα την εξής ,ας το πούμε, απορία. Αν [α,β] ή (α,β) όπου α<β είναι διάστημα στο R , ισχύει ότι [a,b]+Q=R (όπου A+B={ x+y:x στο A,y στο B } ); Επίσης θα ίσχυε το ίδιο αν αντί του διαστήματος είχαμε απλώς ένα υπεραριθμήσιμο σύνολο; Μου φαίνεται ότι το πρώτο είναι τελείως προφανές και ότι το δεύτερο δεν ισχύει πάντα απλώς ήθελα μια επιβεβαίωση.

.
Καλώς ήλθες στο φόρουμ. Ελπίζω να το διασκεδάσεις αλλά και να γράφεις λύσεις στα προτεινόμενα προβλήματα.

Τα δύο παραπάνω είναι σωστά αλλά και απλά, γι' αυτό θα δώσω μόνο υπόδειξη. Όμως θα χαρούμε να δούμε εδώ την συμπλήρωση των λεπτομερειών, από πλευράς σου.

Υποδείξεις.

α) Έστω $x\in \mathbb R$ . Δείξε ότι υπάρχει ρητός

με

.

β) Έστω

το σύνολο των άρρητων αριθμών, το οποίο ως γνωστόν είναι υπεραριθμήσιμο. Δείξε ότι $A+\mathbb Q \ne \mathbb R$ .

Συνέχισε. Ακόμα καλύτερα, θα χαρούμε να δούμε και διαφορετικές αντιμετωπίσεις (υπάρχουν και άλλες).

Και κάτι ακόμα: Οι κανονισμοί μας απαιτούν, σωστότατα, να γράφουμε όλα τα ποστ σε latex. Θα σε παρακαλούσα, λοιπόν, να διορθώσεις το αρχικό σου ποστ και, εννοείται, να γράψεις την απάντησή σου σε latex.

kostastheoxaropoulos · #3

Καλώς, ευχαριστώ πολύ. Για το πρώτο επειδή υπάρχει ρητός στο $\left ( x-b,x-a \right )$ έχουμε αυτό που λέτε. Για το δεύτερο, επειδή κάθε άθροισμα ενός ρητού και ενός άρρητου είναι άρρητος , αν πάρουμε εναν ρητό αριθμό τότε αυτός ανήκει στο $\mathbb{R}$ αλλά δεν ανήκει στο $A+\mathbb{Q}$ . Επίσης συγχωρέστε με για το μη-latex, προσπάθησα να το γράψω latex αλλά μάλλον κάποιο λαθος έκανα και στην αρχική δημοσίευση βγήκε λάθως γραμμένο, γι'αυτό κατέληξα να το γράψω έτσι. Θα κοιτάξω να το διορθώσω σε latex. Τέλος μια διαφορετική αντιμετώπιση για το πρώτο ίσως να είναι να πούμε ότι, αν θεωρήσουμε $x\in \mathbb{R}$ , τότε η f(y)=x-y

στο $\left [ a,b \right ]$ είναι συνεχής άρα η εικόνα της είναι διάστημα, το οποίο περιέχει ρητό και συνεπώς έχουμε το ζητούμενο. Τέλος επί τη ευκαιρία ήθελα να ρωτήσω κάτι τελευταίο,το οποίο πάλι πρέπει να είναι τετριμμένο , απλά για να είμαι σίγουρος, αν Α και Β είναι σύνολα, τότε το A+B

μπορεί να γραφεί ως $\bigcup_{a\in A}^{}(a+B)=\bigcup_{b\in B}^{}(A+b)$ ; (φυσικά πρέπει τα σύνολα να έχουν την πράξη της πρόσθεσης τουλάχιστον)

#4

kostastheoxaropoulos έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 07, 2022 9:12 pm
αν Α και Β είναι σύνολα, τότε το
μπορεί να γραφεί ως $\bigcup_{a\in A}^{}(a+B)=\bigcup_{b\in B}^{}(A+b)$ ; (φυσικά πρέπει τα σύνολα να έχουν την πράξη της πρόσθεσης τουλάχιστον)

Ναι, μπορεί και μάλιστα για τετριμμένο λόγο.

Απόδειξη: Έστω $x\in A+B$ . Τότε εξ ορισμού υπάρχουν $a_o\in A,\, b_o\in B$ με x=a_o+b_o

. Παρατηρούμε τότε ότι $x=a_o+b_o\in a_o+B \subseteq \bigcup_{a\in A}(a+B)$ . Αυτό δείχνει ότι $A+B \subseteq \bigcup_{a\in A}(a+B)$ . Το ανάποδο περιέχεσθε, ακόμα πιο άμεσο.

#5

kostastheoxaropoulos έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 07, 2022 1:25 pm
Καλησπέρα είμαι πρωτοετής φοιτητής στο πανεπιστήμιο Αθηνών και ειναι η πρώτη μου δημοσίευση. Είχα την εξής ,ας το πούμε, απορία. Αν $\left [ a,b \right ]$ ή $\left ( a,b \right )$ όπου είναι διάστημα στο $\mathbb{R}$ , ισχύει ότι $\left [ a,b \right ]+ \mathbb{Q}= \mathbb{R}$ (όπου $A+B=\left \{ a+b:a\in A,b\in B \right \}$ ); Επίσης θα ίσχυε το ίδιο αν αντί του διαστήματος είχαμε απλώς ένα υπεραριθμήσιμο σύνολο; Μου φαίνεται ότι το πρώτο είναι τελείως προφανές και ότι το δεύτερο δεν ισχύει πάντα απλώς ήθελα μια επιβεβαίωση.

Ας δούμε και άλλον ένα συλλογισμό που δείχνει ότι δεν αληθεύει κατ΄ ανάγκη το δεύτερο. Ο συλλογισμός εξηγεί πιο καλά το φαινόμενο αλλά προειδοποιώ ότι χρησιμοποιεί πιο βαριά Μαθηματικά, τα οποία διδάσκονται σε μεγάλα εξάμηνα σπουδών.

Τονίζω όμως ότι στα παρακάτω, τα λόγια είναι πολλά αλλά η ιδέα απλή.

Θα χρησιμοποιήσω το γεγονός ότι το σύνολο $\mathbb R$ με σώμα το $\mathbb Q$ είναι διανυσματικός χώρος (απλό) ο οποίος έχει βάση (εξ ανάγκης μη αριθμήσιμο σύνολο). Η ύπαρξη βάσης (ακριβέστερα, βάσης Hamel), χρησιμοποιεί το Αξίωμα Επιλογής. Μάλιστα μπορώ να θεωρήσω ότι ένα στοιχείο της βάσης είναι ο αριθμός

, και μετά να επεκτείνω το σύνολο $\{1\}$ σε βάση του χώρου. Ονομάζω

ένα στοιχείο της βάσης, διαφορετικό από το

. Επίσης ονομάζω

το σύνολο των πεπερασμένων αθροισμάτων με ρητούς συντελεστές στοίχείων της βάσης που είναι διαφορετικά από τα

και

.

Ισχυρίζομαι ότι $X+\mathbb Q\ne \mathbb R$ . Ακόμα καλυτερα, ισχυρίζομαι ότι $a\notin X+\mathbb Q$ .

Mα αυτό είναι τετριμμένο: Από την μοναδικότητα της παράστασης των στοιχείων του $\mathbb R$ ως γραμμικούς συνδυασμούς (με ρητούς συντελεστές) στοιχείων της βάσης, αποκλείεται να έχουμε ισότητα της μορφής a=q_1+q_bb +... +q_cc

. Άρα πόσο μάλλον της μορφής a= q+x

με $q\in \mathbb Q,\, x\in X$ . Τελειώσαμε.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 07, 2022 5:38 pm

β) Έστω το σύνολο των άρρητων αριθμών, το οποίο ως γνωστόν είναι υπεραριθμήσιμο. Δείξε ότι $A+\mathbb Q \ne \mathbb R$ .

.
Ένας αφοπλιστικά γρήγορος τρόπος να το δούμε αυτό είναι να παρατηρήσουμε ότι $0\notin A+\mathbb Q$ . Αλλιώς για κάποιον άρρητο

και κάποιον ρητό

θα είχαμε

. Δηλαδή

, που είναι άτοπο (άρρητος = ρητό).
.

kostastheoxaropoulos · #7

Κατάλαβα. Αν και κάπως αργοπορημένα ευχαριστώ πολύ για τις πληροφορίες.

#8

kostastheoxaropoulos έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 10, 2022 6:35 pm
Κατάλαβα. Αν και κάπως αργοπορημένα ευχαριστώ πολύ για τις πληροφορίες.

Να 'σαι καλά.

Ελπίζω να βρεις ευχάριστο έδαφος στο φόρουμ για να αναρτάς ασκήσεις και λύσεις σε προτεινόμενες ασκήσεις.

άθροισμα διαστήματος με το σύνολο των ρητών

άθροισμα διαστήματος με το σύνολο των ρητών

Re: άθροισμα διαστήματος με το σύνολο των ρητών

Re: άθροισμα διαστήματος με το σύνολο των ρητών

Re: άθροισμα διαστήματος με το σύνολο των ρητών

Re: άθροισμα διαστήματος με το σύνολο των ρητών

Re: άθροισμα διαστήματος με το σύνολο των ρητών

Re: άθροισμα διαστήματος με το σύνολο των ρητών

Re: άθροισμα διαστήματος με το σύνολο των ρητών

Μέλη σε σύνδεση