Κυρτή Ανάλυση

ΣΚΟΥΜΠΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ · #1

Να αποδειχθεί οτι

$\text{conv} \Bigg{(} \Bigl\{x\in\mathbb{R}^d:|x_i|=1 \,\,, \, \forall i \in \{1,...,d\} \bigg{}} \Bigr\} \Bigg{)}=\Big\{ x \in \mathbb{R}^d:|x_i|\leq1 \, , \, \forall i \in\{1,...,d\}\Bigr\}$

stranger · #2

που περιέχει το πρώτο σύνολο, τότε αν πάρουμε x=(x_1,..,x_d)

με $|x_i| \leq 1$ για κάθε

έχουμε

, όπου

επειδή το σύνολο [-1,1]

είναι διάστημα.
Άρα το

περιέχει το δεύτερο σύνολο και το συμπέρασμα έπεται.

POST EDITED
Υπάρχει λάθος στην λύση μου αφού το

εξαρτάται από το

στο τέλος της απόδειξης.
Ευχαριστώ τον Σ.Παπαδόπουλο για την επισήμανση.

min## · #3

Με επαγωγή στο

νομίζω είναι απλό να δείξουμε ότι το πρώτο περιέχει το δεύτερο:
Απλώς προβάλλουμε σε κάθε διάσταση ξεχωριστά (αρκεί να επιλέξουμε

) και η κυρτότητα διατηρείται.
Το αντίστροφο δεν έχει και ιδιαίτερο ενδιαφέρον-προκύπτει εξ'ορισμού της κυρτής θήκης.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

ΣΚΟΥΜΠΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 18, 2020 1:23 am
Να αποδειχθεί οτι

$\text{conv} \Bigg{(} \Bigl\{x\in\mathbb{R}^d:|x_i|=1 \,\,, \, \forall i \in \{1,...,d\} \bigg{}} \Bigr\} \Bigg{)}=\Big\{ x \in \mathbb{R}^d:|x_i|\leq1 \, , \, \forall i \in\{1,...,d\}\Bigr\}$

Μπορούμε να το πάρουμε άμεσα χρησιμοποιώντας το βαρύ:

Αν

συμπαγές κυρτό υποσύνολο του $\mathbb{R}^{n}$
τότε K=conv(ext(K))

(

είναι τα ακραία σημεία του

)

Εδω
$K=\Big\{ x \in \mathbb{R}^d:|x_i|\leq1 \, , \, \forall i \in\{1,...,d\}\Bigr\}$
οπότε αρκεί να αποδειχθεί ότι
$ext(K)={} \Bigl\{x\in\mathbb{R}^d:|x_i|=1 \,\,, \, \forall i \in \{1,...,d\} \bigg{}} \Bigr\}$

ΣΚΟΥΜΠΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ · #5

min## έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 18, 2020 2:14 am
Με επαγωγή στο νομίζω είναι απλό να δείξουμε ότι το πρώτο περιέχει το δεύτερο:
Απλώς προβάλλουμε σε κάθε διάσταση ξεχωριστά (αρκεί να επιλέξουμε ) και η κυρτότητα διατηρείται.
Το αντίστροφο δεν έχει και ιδιαίτερο ενδιαφέρον-προκύπτει εξ'ορισμού της κυρτής θήκης.

Ευχαριστώ για την απάντηση. Θα μπορούσατε να την γράψετε λίγο πιο αναλυτικά γιατί δε βγάζω άκρη, ευχαριστώ εκ των προτέρων

min## · #6

Έστω $(a_{1},a_{2},..a_{n})$ ένα σημείο με $\left | a_{i} \right | \leq 1 \forall i$ .
Έστω $S=\left \{ \pm 1 \right \}^{n}$ το σύνολο των σημείων του αριστερού μέλους.
Θεωρούμε τα σημεία $A_{1}=(a_{1},a_{2},..,a_{n-1},1),A_{2}=(a_{1},a_{2},..,a_{n-1},-1)$ .
Από επαγωγική υπόθεση μπορούμε να γράψουμε $A_{1}=\sum u_{i}\lambda _{i}$ με $u_{i}$ στοιχεία του

με τελευταία συντεταγμένη

και $\lambda _{i}\geq 0,\sum \lambda _{i}= 1$ (κυρτός συνδυασμός/αγνοούμε την τελευταία συντεταγμένη).
Ομοίως και $A_{2}=\sum u_{i}'\lambda _{i}'$ (εδώ τα $u'_{i}$ έχουν τελευταία συντεταγμένη

).
Η κυρτή θήκη των $A_{1},A_{2}$ είναι το σύνολο $\left \{ A_{1}t+A_{2}(1-t),t\in [0,1] \right \}$ .Βλέποντας την τελευταία μόνο συντεταγμένη (οι άλλες μένουν απείραχτες) αρκεί να βρούμε $t\in [0,1]$ ώστε $2t-1=a_{n}$ το οποίο γίνεται επειδή $a_{n}\in [-1,1]$ από υπόθεση.
Οπότε έχουμε τον κυρτό συνδυασμό που θέμε: $(a_{1},..a_{n})=\sum u_{i}\lambda _{i}t+\sum u'_{i}\lambda' _{i}(1-t)$ .
Άρα το LHS

της αρχικής περιέχει το RHS

.
Το

είναι όμως κυρτό (απλό) και περιέχει όλα τα σημεία του LHS

,δηλαδή εξ'ορισμού και την κυρτή τους θήκη κλπ.

Κυρτή Ανάλυση

Κυρτή Ανάλυση

Re: Κυρτή Ανάλυση

Re: Κυρτή Ανάλυση

Re: Κυρτή Ανάλυση

Re: Κυρτή Ανάλυση

Re: Κυρτή Ανάλυση

Μέλη σε σύνδεση