Εύρεση Συνάρτησης

mick7 · #1

Να βρεθεί η συνάρτηση $f:R_{>0}\rightarrow R$ η οποια ικανοποιει τις

1) $f(x \cdot y)=f(x)+f(y)$

2) $f(x)\leq x-1$

για ολα τα x,y>0

[Μικρη Διορθωση στο προσημο των x,y]

#2

Με την αντικατάσταση $x=e^{u}$ , $y=e^{v}$ η $f(x\,y)=f(x)+f(y)$ γίνεται

$\begin{aligned} f\bigl({e^{u}\,e^{v}}\bigr)&=f\bigl({e^{u}}\bigr)+f\bigl({e^{v}}\bigr)&\Longleftrightarrow\\\noalign{\vspace{0.1cm}} f\bigl({e^{u+v}}\bigr)&=f\bigl({e^{u}}\bigr)+f\bigl({e^{v}}\bigr)&\Longleftrightarrow\\\noalign{\vspace{0.1cm}} ({f\circ\exp})({u+v})&=({f\circ\exp})({u})+({f\circ\exp})({v})&\stackrel{g=f\circ\exp}{\Longleftarrow\!=\!\Longrightarrow}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} g(u+v)&=g(u)+g(v)\quad (1)\,,\quad u,v\in\mathbb{R}\,, & \end{aligned}$

Η οποία είναι η εξίσωση Cauchy. Η δεύτερη σχέση γίνεται

$g(u)\leqslant e^{u}-1\quad (2)\,, \; \forall\,u\in\mathbb{R}\,.$

Από την (1)

προκύπτουν g(0)=0

και $g(-u)=-g(u)\,, \; u\in\mathbb{R}$ . Τότε από την (2)

:

$\begin{aligned} 1-e^{-u}\leqslant-g(-u)=g(u)&\leqslant e^{u}-1&\Rightarrow \\\noalign{\vspace{0.1cm}} 0=\mathop{\lim}\limits_{u\rightarrow0}(1-e^{-u})\leqslant\mathop{\lim}\limits_{u\rightarrow0}g(u)&\leqslant\mathop{\lim}\limits_{u\rightarrow0}(e^{u}-1)=0&\Rightarrow \\\noalign{\vspace{0.1cm}} \mathop{\lim}\limits_{u\rightarrow0}g(u)&=0=g(0)\,.& \end{aligned}$

Είναι γνωστή η απόδειξη ότι από την συνέχεια της

στο

, από την Cauchy, προκύπτει η συνέχεια της

σε όλο το $\mathbb{R}$ και τότε $g(x)=g(1)\,x\,,\;x\in\mathbb{R}$ . Τελικά $f(x)=f(e)\log{x}\,,\; x\in(0,+\infty)$ .

edit:16:32, 20/5/18. Άρση της απόκρυψης και πλήρης λύση.

Εύρεση Συνάρτησης

Εύρεση Συνάρτησης

Re: Εύρεση Συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση