Ενδιαφέρουσα πρόταση για σύνολο τιμών

Andreas A. · #1

Παρατήρησα (και απέδειξα μετά) ότι ισχύει η παρακάτω σχέση:

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ \ \mu\varepsilon \ \left |f'(x) \right |>c>0 \ , \forall x\in\mathbb{R}\left \Rightarrow f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$

Η απόδειξή της είναι σχετικά απλή και βγαίνει και με μαθηματικά λυκείου.

Μπορούμε να την βελτιώσουμε/ υπάρχουν παρόμοιες (καλύτερες) προτάσεις για σύνολα τιμών;

#2

Andreas A. έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 20, 2018 3:12 pm
...υπάρχουν παρόμοιες (καλύτερες) προτάσεις για σύνολα τιμών;

Πάρα πολλές παρόμοιες προτάσεις...π.χ. η

συνεχής (όχι κατ' ανάγκη παραγωγίσιμη) και μη-φραγμένη.
Είναι πολύ γενική ερώτηση...

#3

Andreas A. έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 20, 2018 3:12 pm
Παρατήρησα (και απέδειξα μετά) ότι ισχύει η παρακάτω σχέση:

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ \ \mu\varepsilon \ \left |f'(x) \right |>c>0 \ , \forall x\in\mathbb{R}\left \Rightarrow f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$

Η απόδειξή της είναι σχετικά απλή και βγαίνει και με μαθηματικά λυκείου.

Μπορούμε να την βελτιώσουμε/ υπάρχουν παρόμοιες (καλύτερες) προτάσεις για σύνολα τιμών;

.
Βγαίνει με διάφορους τρόπους. Π.χ. εξετάζουμε την συνάρτηση στο [-N, N]

. Αφού η παράγωγος δεν μηδενίζεται, η συνάρτηση έχει ακρότατα στα άκρα (αφού δεν έχει σε εσωτερικό σημείο). Χωρίς βλάβη f(N) = max

και

(αλλιώς εξετάζουμε την

). Άρα από ΘΜΤ

$\displaystyle{f(N) = f(N) - f(0) +f(0) = |f(N) - f(0)| +f(0) = |f'(\xi) (N-0) | +f(0) \ge cN +f(0) \to \infty}$ και άρα $\displaystyle{f(N) \to \infty}$ . 'Ομοια $\displaystyle{f(-N) \to - \infty}$ , και λοιπά.

Άλλος τρόπος/παραλλαγή είναι με Darboux, όπου μπορούμε χωρίς βλάβη να υποθέσουμε f'(x) >0

(αφού πουθενά δεν μηδενίζεται). Άρα για x>0

είναι $f(x)=f(0) + f'(\xi)(x-0) \ge f(0) + c(x-0) \to \infty$ καθώς $x\to \infty$ . Όμοια για x<0

, και λοιπά.

Νομίζω ότι είναι στάνταρ άσκηση, χιλιοειπωμένη.

#4

Άλλη μία παραλλαγή αλλά αποφεύγοντας τον Darboux, μια και ο τελευταίος είναι εκτός Λυκειακής ύλης:

Η συνάρτηση είναι 1-1

διότι αν $a\ne b$ έχουμε $|f(a)-f(b)|= |f'(\xi)(a-b)|\ne 0$ . Άρα η

είναι γνήσια μονότονη ως συνεχής, και χωρίς βλάβη είναι γνήσια αύξουσα. Έπεται ότι $f'(x) \ge 0$ , που από την υπόθεση βελτιώνεται σε f'(x) >c>0

, και γλυτώσαμε τον Darboux. Και λοιπά, όπως πριν.

Andreas A. · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 21, 2018 3:27 pm
Άλλη μία παραλλαγή αλλά αποφεύγοντας τον Darboux, μια και ο τελευταίος είναι εκτός Λυκειακής ύλης:

Η συνάρτηση είναι διότι αν $a\ne b$ έχουμε $|f(a)-f(b)|= |f'(\xi)(a-b)|\ne 0$ . Άρα η είναι γνήσια μονότονη ως συνεχής, και χωρίς βλάβη είναι γνήσια αύξουσα. Έπεται ότι $f'(x) \ge 0$ , που από την υπόθεση βελτιώνεται σε , και γλυτώσαμε τον Darboux. Και λοιπά, όπως πριν.

Συμφωνούμε απόλυτα και στις 2 προσεγγίσεις, αρχικά το έλυσα με Darboux και μετά με το 1-1 + συνεχής = μονότονη για το "λυκειακό" του θέματος.

Ενδιαφέρουσα πρόταση για σύνολο τιμών

Ενδιαφέρουσα πρόταση για σύνολο τιμών

Re: Ενδιαφέρουσα πρόταση για σύνολο τιμών

Re: Ενδιαφέρουσα πρόταση για σύνολο τιμών

Re: Ενδιαφέρουσα πρόταση για σύνολο τιμών

Re: Ενδιαφέρουσα πρόταση για σύνολο τιμών

Μέλη σε σύνδεση