Κατά σημείο και ομοιόμορφη σύγκλιση

Mathletic · #1

Γειά σας!

Θέλω να εξετάσω την κατά σημείο και την ομοιόμορφη σύγκλιση των παρακάτω ακολουθιών/σειρών:

$f_n:[0, \infty)\rightarrow \mathbb{R}, f_n(x)=xe^{-nx}$ για κάθε $n\in \mathbb{N}$
$f_n:[0, \infty)\rightarrow \mathbb{R}, f_n(x)=nxe^{-nx}$ για κάθε $n\in \mathbb{N}$
$f_n:[0, 1]\rightarrow \mathbb{R}, f_n(x)=\sqrt[n]{n^2x}$ για κάθε $n\in \mathbb{N}$
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{nx-n^2}}$ για $x\in (0,1)$
$\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin (x)}{(1+x^4)^n}}$ για $x\in \mathbb{R}$

Έχω κάνει τα εξής:

1. Έχουμε ότι $f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x}{e^{nx}}=0$ .
Για κάθε $x\in [0, \infty)$ η ακολουθία (f_n(x))

συγκλίνει. Άρα η ακολουθία (f_n)

συγκλίνει στο $[0,\infty)$ κατά σημείο στο

.

Για να ελέγξουμε την ομοιόμορφη σύγκλιση πρέπει να δείξουμε ότι $|f_n(x)-f(x)|<\epsilon \Rightarrow \frac{x}{e^{nx}}<\epsilon$ για κάποιο $\epsilon$ .

Οπότε πρέπει να βρούμε την μέγιστη τιμή του $\frac{x}{e^{nx}}$ , σωστά;

2. Έχουμε ότι
$\\ f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{nx}{e^{nx}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{nx}{\frac{\sum_{k=1}^{\infty}(nx)^k}{k!}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{xk!}{\lim_{n\rightarrow \infty}\left (\frac{nx}{n}+\sum_{k=2}^{\infty}(nx)^{k-1}\right )}=0$
Σωστά;

Για κάθε $x\in [0, \infty)$ η ακολουθία (f_n(x))

συγκλίνει. Άρα η ακολουθία (f_n)

συγκλίνει στο $[0,\infty)$ κατά σημείο στο

.

3. Όταν x=0

έχουμε $f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x)=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{n^2\cdot 0}=0$ .
Για $x\in (0,1]$ έχουμε ότι $f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x)=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{n^2x}=1$
Σωστά;

Άρα η ακολουθία συγκλίνει κατά σημείο.

4. Πώς μπορούμε να ελέγξουμε την κατά σημείο σύγκλιση;

Έχουμε ότι n^2-nx>n^2-2n^2=-n^2

.
Τότε: $\left |\frac{1}{nx-n^2}\right |=\frac{1}{n^2-nx}<-\frac{1}{n^2}$
Η σειρά $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\left (-\frac{1}{n^2}\right )=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}$ συγκλίνει και άρα από το κριτήριο του Weierstrass έχουμε ότι η σειρά $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{nx-n^2}}$ συγκλίνει ομοιόμορφα.

5. Για $x\neq 0$ έχουμε:
$\\ s_k=\sum_{n=0}^{k}\frac{\sin (x)}{(1+x^4)^n}=\sin (x)\sum_{n=0}^{k}\left (\frac{1}{1+x^4}\right )^n=\sin (x)\frac{1-\left (\frac{1}{1+x^4}\right )^{k+1}}{1-\frac{1}{1+x^4}}=\sin (x)\frac{1-\frac{1}{(1+x^4)^{k+1}}}{1-\frac{1}{1+x^4}}=\sin (x)\frac{(1+x^4)^{k+1}-1}{(1+x^4)^{k+1}-(1+x^4)^k}=\frac{\sin (x)}{(1+x^4)^k}\left (\frac{(1+x^4)^{k+1}-1}{1+x^4-1}\right )=\frac{\sin (x)}{x^4(1+x^4)^k}\left ((1+x^4)^{k+1}-1\right )$

και για x=0

έχουμε: $s_k=\sum_{n=0}^{k}\frac{\sin (x)}{(1+x^4)^n}=0$ .

Σε κάθε περίπτωση η s_k

συγκλίνει. Οπότε, η $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin (x)}{(1+x^4)^n}$ συγκλίνει κατά σημείο.

Η $f_n=\frac{\sin (x)}{(1+x^4)^n}$ είναι συνεχής. Πρέπει να ελέγχουμε αν και η $f(x):=\left\{\begin{matrix} \sin (x)\frac{1+x^4}{x^4} & x\neq 0 \\ 0 & x=0\end{matrix}\right.$ είναι συνεχής. Πρέπει να ελέξχουμε την συνέχεις στο x=0

:
Έχουμε ότι:
$\\ \lim_{x\rightarrow 0}\sin (x)\frac{1+x^4}{x^4}=\lim_{x\rightarrow 0}\sin (x)\left (\frac{1}{x^4}+1\right )=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin (x)}{x^4}+\lim_{x\rightarrow 0}\sin (x)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin (x)}{x}\frac{1}{x^3}=1\cdot \infty=\infty\neq 0$
Οπότε δεν είναι συνεχής στο x=0

, και άρα η σειρά δεν συγκλίνει ομοιόμορφα.

#2

θα σε παρότρυνα να τα ξαναδείς γιατί ανάμεσα στα σωστά (αλλά απλά) υπάρχουν μερικά ΑΠΙΣΤΕΥΤΑ λάθη. Ως συνήθως δεν θέλεις να ακούσεις την συμβουλή μου και επανερχόμαστε στα ίδια και στα ίδια.

Κάνε άλλη μία, ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΗ αυτή την φορά, προσπάθεια γιατί όσο και αν σε βοηθήσουμε εμείς δεν θα κατεφέρουμε τίποτα ουσιαστικό χωρίς παράλληλη εργασία και από σένα.

Σημειώνω μερικά από τα πολύ σοβαρά λάθη.

Mathletic έγραψε: 2. Έχουμε ότι
$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{nx}{\frac{\sum_{k=1}^{\infty}(nx)^k}{k!}}$

Όχι βέβαια. Είναι σαν να λες π.χ. $a+\frac {1}{2} b+ \frac {1}{3}c = \frac {1}{3} \left (a+\frac {1}{2} b+ c \right )$

Mathletic έγραψε: Τότε: $\left |\frac{1}{nx-n^2}\right |=\frac{1}{n^2-nx}<-\frac{1}{n^2}$

Έλεος. Θετικός μικρότερος από αρνητικό!

Με αυτά ως δεδομένο, επαναλαμβάνω την παρότρυνσή μου: Πάψε να σκέπτεσαι "στο περίπου". Τα Μαθηματικά απαιτούν ακρίβεια και έχουν τους κανόνες τους.

Mathletic · #3

Για το 4. είχα σκεφτεί και το εξής:

Αφού $0<x<1\Rightarrow 0<nx<n\Rightarrow -n<-nx<0\Rightarrow n^2-n<n^2-nx<n^2$ εχουμε ότι $\frac{1}{n^2-nx}<\frac{1}{n^2-n}=\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$

Αφού η $\sum_{n=2}^{\infty}\left (\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right )$ συγκλίνει, έχουμε από το κριτήριο του Weierstrass ότι η $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{nx-n^2}$ συγκλίνει ομοιόμορφα.

Συγκλίνει όμως και η $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{nx-n^2}=\frac{1}{x-1}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{nx-n^2}$ ομοιόμορφα;

#4

Mathletic έγραψε:Για το 4. είχα σκεφτεί και το εξής:

Αφού $0<x<1\Rightarrow 0<nx<n\Rightarrow -n<-nx<0\Rightarrow n^2-n<n^2-nx<n^2$ εχουμε ότι $\frac{1}{n^2-nx}<\frac{1}{n^2-n}=\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$

Αφού η $\sum_{n=2}^{\infty}\left (\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right )$ συγκλίνει, έχουμε από το κριτήριο του Weierstrass ότι η $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{nx-n^2}$ συγκλίνει ομοιόμορφα.

Συγκλίνει όμως και η $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{nx-n^2}=\frac{1}{x-1}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{nx-n^2}$ ομοιόμορφα;

Δεν το πιστεύω ότι το ρωτάς αυτό!

Με άλλα λόγια ξέρεις ότι συγκλίνει ομοιόμορφα η $\displaystyle{ \sum _{n=2}^{\infty} f_n(x) }$ και δεν ξέρεις να απαντήσεις αν συγκλίνει ομοιόμορφα ή όχι η $\displaystyle{ \sum _{n=1}^{\infty} f_n(x)}$ ;

Μάλλον πάλι γράφεις χωρίς να έχεις δώσει ούτε την παραμικρή σκέψη στο ζητούμενο. Επειδή το θέμα είναι τετριμμένο, σε παροτρύνω να το σκεφτείς. Μόνο πλεονεκτήματα έχει η παρότρυνσή μου και είναι απόλυτα καλοπροαίρετη. Ελπίζω πάντα ότι κάποτε θα έχω συμβάλλει θετικά στο να σε ενθαρρύνω να σκέπτεσαι περισσότερο τα θέματα (ιδίως τα πολύ απλά), πριν ρωτήσεις. Αλλοίμονο, δεν λέω ότι μπορεί κανείς να λύνει όλα τα θέματα μόνος του, αλλά υπάρχουν όρια.

Mathletic · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: Με άλλα λόγια ξέρεις ότι συγκλίνει ομοιόμορφα η $\displaystyle{ \sum _{n=2}^{\infty} f_n(x) }$ και δεν ξέρεις να απαντήσεις αν συγκλίνει ομοιόμορφα ή όχι η $\displaystyle{ \sum _{n=1}^{\infty} f_n(x)}$ ;

Συγκλίνει όμως η $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{nx-n^2}=\frac{1}{x-1}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{nx-n^2}$ ομοιόμορφα παρόλο που για $x\rightarrow 1$ έχουμε ότι $\frac{1}{x-1}\rightarrow \infty$ ;

#6

Mathletic έγραψε: Συγκλίνει όμως η $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{nx-n^2}=\frac{1}{x-1}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{nx-n^2}$ ομοιόμορφα παρόλο που για $x\rightarrow 1$ έχουμε ότι $\frac{1}{x-1}\rightarrow \infty$ ;

Άσχετο. Η ομοιόμορφη ή όχι σύγκλιση είναι ιδιότητα της σειράς. Δηλαδή κατά πόσο τα μερικά αθροίσματα
$\displaystyle{s_k(x) = \sum _{n=1}^{k} f_n(x)}$ συγκλίνουν ομοιόμορφη ή όχι.

Θα πρότεινα να ξεκαθαρίσεις στο μυαλό σου της έννοιες γιατί χωρίς αυτό, επίλυση ασκήσεων δεν γίνεται.

#7

Για την 2η ακολουθία: $f_{n}(x)=nx\,{\rm{e}}^{-nx}\,,\quad{x}\in\left[{0,\,+\infty}\right)$ .

Για την κατά σημείο σύγκλιση στο $\left[{0,\,+\infty}\right)$ :
$f_{n}(0)=0, \quad n\in\mathbb{N}$ . Για $x\in\left({0,\,+\infty}\right)$ :

$\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}{\frac{nx}{{\rm{e}}^{nx}}}\,\mathop{=\!=\!=\!=}\limits^{\begin{subarray}{c} {t\,=\,nx} \\ {t\rightarrow{+\infty}} \\ \end{subarray}}\,\mathop{\lim}\limits_{t\rightarrow{+\infty}}{\frac{t}{{\rm{e}}^{t}}}\,\mathop{=}\limits^{\frac{\infty}{\infty}}\mathop{\lim}\limits_{t\rightarrow{+\infty}}{\frac{({t})^{\prime}}{({{\rm{e}}^{t}})^{\prime}}}=\mathop{\lim}\limits_{t\rightarrow{+\infty}}{\frac{1}{{\rm{e}}^{t}}}=0$ .

Άρα $f_{n}\xrightarrow{\kappa.\,\sigma.}0$ στο $\left[{0,\,+\infty}\right)$ .
Για την ομοιόμορφη σύγκλιση στο $\left[{0,\,+\infty}\right)$ :

$f^{\prime}_{n}(x)=n\,{\rm{e}}^{-nx}({1-nx})\,, \quad {x}\in\left[{0,\,+\infty}\right)$ .

$f^{\prime}_{n}(x)=0\quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{1}{n}$ .

Από τον πίνακα μονοτονίας των συναρτήσεων $f_{n}$ προκύπτει ότι

$f_{n}(x)\leqslant{f_{n}\!\left({\tfrac{1}{n}}\right)}=\dfrac{1}{{\rm{e}}}$ ,

για κάθε $x\in\left({0,\,+\infty}\right)$ . Αν

$\begin{aligned} a_{n}&:=\sup\left\lbrace{\left|{nx\,{\rm{e}}^{-nx}-0}\right|:x\in\left({0,\,+\infty}\right)}\right\rbrace\\ &=\max\left\lbrace{nx\,{\rm{e}}^{-nx}:\,x\in\left({0,\,+\infty}\right)}\right\rbrace\\ &=\dfrac{1}{{\rm{e}}}\,, \end{aligned}$

τότε $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}{a_{n}}=\dfrac{1}{{\rm{e}}}\neq0$ και η ακολουθία $({f_{n}})_{n\in\mathbb{N}}$ δεν συγκλίνει ομοιόμορφα στο $\left[{0,\,+\infty}\right)$ .
[attachment=0]nx e^(-nx).png[/attachment]

#8

grigkost έγραψε: ...
[*] Για την ομοιόμορφη σύγκλιση στο $\left[{0,\,+\infty}\right)$ :

$f^{\prime}_{n}(x)=n\,{\rm{e}}^{-nx}({1-nx})\,, \quad {x}\in\left[{0,\,+\infty}\right)$ .

$f^{\prime}_{n}(x)=0\quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{1}{n}$ .

Από τον πίνακα μονοτονίας των συναρτήσεων $f_{n}$ προκύπτει ότι

$f_{n}(x)\leqslant{f_{n}\!\left({\tfrac{1}{n}}\right)}=\dfrac{1}{{\rm{e}}}$ ,

για κάθε $x\in\left({0,\,+\infty}\right)$ . Αν

$\begin{aligned} a_{n}&:=\sup\left\lbrace{\left|{nx\,{\rm{e}}^{-nx}-0}\right|:x\in\left({0,\,+\infty}\right)}\right\rbrace\\ &=\max\left\lbrace{nx\,{\rm{e}}^{-nx}:\,x\in\left({0,\,+\infty}\right)}\right\rbrace\\ &=\dfrac{1}{{\rm{e}}}\,, \end{aligned}$

τότε $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}{a_{n}}=\dfrac{1}{{\rm{e}}}\neq0$ και η ακολουθία $({f_{n}})_{n\in\mathbb{N}}$ δεν συγκλίνει ομοιόμορφα στο $\left[{0,\,+\infty}\right)$ .

Γρηγόρη, δεν χρειάζονται όλα αυτά: Ούτε παραγωγίσεις, ούτε η εύρεση της ακριβούς τιμής του μεγίστου της f_n

. Μας αρκεί το

$\displaystyle{ \sup_{x \ge 0} \left |f_n(x) \right | \ge f_n \left (\frac {1}{n} \right )=e^{-1} \cancel {\rightarrow } \,\,\, 0}$ . Τελειώσαμε.

Κατά σημείο και ομοιόμορφη σύγκλιση

Κατά σημείο και ομοιόμορφη σύγκλιση

Re: Κατά σημείο και ομοιόμορφη σύγκλιση

Re: Κατά σημείο και ομοιόμορφη σύγκλιση

Re: Κατά σημείο και ομοιόμορφη σύγκλιση

Re: Κατά σημείο και ομοιόμορφη σύγκλιση

Re: Κατά σημείο και ομοιόμορφη σύγκλιση

Re: Κατά σημείο και ομοιόμορφη σύγκλιση

Re: Κατά σημείο και ομοιόμορφη σύγκλιση

Μέλη σε σύνδεση