Δεν υπάρχει λύση

Tolaso J Kos · #1

Να αποδειχθεί πως δεν υπάρχει τοπική λύση στο

της εξίσωσης
$\displaystyle{f'=e^{f^{-1}}}$ με f(0)=0

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την $f'(f(x))=e^{x}$ (1)

Είναι εύκολο να δειχθεί ότι αν υπάρχει τέτοια συνάρτηση τότε είναι άπειρα φορές παραγωγίσιμη

και έχει ανάπτυγμα Taylor γύρω από το

παραγωγίζοντας την (1) και θέτοντας x=0

βρίσκουμε $f'(0)=f''(0)=1,f'''(0)=0,f^{(4)}(0)=1,f^{(5)}(0)=-6,f^{(6)}(0)=37$

Ετσι $f(x)=x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{6}{5!}x^{5}+\frac{37}{6!}x^{6}+....$

και $f'(x)=1+x+\frac{x^{3}}{3!}-\frac{6}{4!}x^{4}+\frac{37}{5!}x^{5}+....$

Αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε ΑΤΟΠΟ.

Συγκεκριμένα χαλάει ο συντελεστής του $x^{5}$ .

Δεν υπάρχει λύση

Δεν υπάρχει λύση

Re: Δεν υπάρχει λύση

Μέλη σε σύνδεση