Δεν υπάρχει συνάρτηση

#1

Καλημέρα καλή βδομάδα και καλή Σαρακοστή. Να θέσω ένα πρόβλημα:
Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow (0,+\infty)$ , για την οποία αληθεύει η συνεπαγωγή: $x\in \mathbb{Q}, y\in \mathbb{R}-\mathbb{Q} \Rightarrow f(x)f(y)\leq |x-y|$

dement · #2

Ωραια ασκηση! Ελπιζω να μην εχω λαθος...

Εστω f_i

ο περιορισμος της

στους αρρητους και f_r

ο περιορισμος της

στους ρητους.

Τοτε, απο τη δεδομενη σχεση, για $q \in \mathbb{Q}$ ισχυει $\displaystyle \lim_{x \to q} f_i (x) = 0$ . Επισης, για $r \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}$ ισχυει $\displaystyle \lim_{x \to r} f_r (x) = 0$ .

Εστω $n \in \mathbb{N}$ . Απο τα δυο παραπανω ορια ισχυει οτι για καθε περιοχη του $\mathbb{R}$ υπαρχει ανοικτη υποπεριοχη της I_n

με $f(I_n) \subseteq (0,1/n)$ . Το συνολο $A_n \equiv f^{-1} (0, 1/n)$ εχει λοιπον ανοικτο και πυκνο υποσυνολο. (Μολις διεγραψα μια ενωση που δεν ειχε καμια δουλεια εκει και συντομευσα λιγο την αποδειξη)

Οποτε, απο το θεωρημα Baire, το συνολο $A = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n = \emptyset$ ειναι πυκνο, που ειναι ατοπο.

Δημητρης Σκουτερης

#3

Ωραία λύση Δημήτρη

Η δική μου, κάπως διαφορετική:
Αν $x\in \mathbb{Q}$ και $y\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}$ , τότε για κάθε ακολουθία ρητών $x_{n}$ , που έχει όριο το

, έχουμε προφανώς
$f(x_{n}) \rightarrow 0$ . Αλλά και για κάθε ακολουθία αρρήτων $y_{n}$ , που έχει όριο το

έχουμε $f(y_{n})\rightarrow 0$ . Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση $h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ με $h(x)=f(x), x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}$ και $h(x)=0, x\in \mathbb{Q}$ . Είναι φανερό πως το σύνολο των σημείων της συνέχειας της είναι το $\mathbb{Q}$ , άτοπο, γιατί ως γνωστόν το σύνολο των σημείων συνέχειας μιας συνάρτησης είναι ένα σύνολο $G_{\delta}$ , ενώ το $\mathbb{Q}$ δεν είναι σύνολο $G_{\delta}$ .
Φιλικά

#4

Ας μου επιτραπεί να αναφέρω ότι αυτό είναι το πρόβλημα Ε 2310 του Monthly, προταθέν από τον Hal Forsey.

http://www.jstor.org/pss/2316278

Τρείς (και κάτι) πολύ ενδιαφέρουσες λύσεις ή γενικεύσεις δημοσιεύθηκαν στον Τόμο 79, Αυγ.-Σεπτ. 1972, σελ. 775-777.

Η τρίτη εξ αυτών, μάλιστα, δε χρησιμοποιεί το Θεώρημα Baire.

http://www.jstor.org/pss/2316279

Φιλικά,

Αχιλλέας

#5

Αχιλλέα σε ευχαριστώ για την πληροφορία και για τη ωραία λύση, στην οποία μας παραπέμπεις. Δεν το γνώριζα ότι ήταν άσκηση του Monthly. Τη βρήκα σε κάποιες σημειώσεις χειρόγραφες, που έφτασαν σε μένα εντελώς τυχαία.
Φιλικά

#6

Σπύρο, την είχα δει πριν από πολλά χρόνια, αλλά δε θυμόμουν σε ποιο τεύχος.
Μετά τις ωραίες σας λύσεις, έψαξα και τη βρήκα.
Χάρηκα όταν είδα ότι είχε κι άλλες λύσεις.

Προσπάθησα να δω αν το jstor μπορούσε να μας "δώσει" τη σελ. 776 "νόμιμα" με κάποια σύνδεση, αλλά ατύχησα.

Στις παραπάνω συνδέσεις έχουμε τις σελίδες 775 και 777.

Δυστυχώς, λείπει η 776, κι άρα η αρχή της τρίτης λύσης που είναι μόνο λίγες σειρές.

Η συνθήκη (*) που αναφέρει στη σελ. 777 είναι η ανισότητα $\displaystyle{f(x)\leq \frac{|x-y|}{f(y)}}$ για $\displaystyle{x}$ ρητό και $\displaystyle{y}$ άρρητο.

Ίσως μπορέσω να βάλω αργότερα την αρχή της τρίτης λύσης ως επισυναπτόμενο αρχείο.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Δεν υπάρχει συνάρτηση

Δεν υπάρχει συνάρτηση

Re: Δεν υπάρχει συνάρτηση

Re: Δεν υπάρχει συνάρτηση

Re: Δεν υπάρχει συνάρτηση

Re: Δεν υπάρχει συνάρτηση

Re: Δεν υπάρχει συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση