όριο!

bboybast · #1

Η

είναι συνεχής στο [0,1]

.Να δειχθεί ότι $\lim_{n\rightarrow \propto }n\int_{0}^{1}{x^nf(x)dx}=f(1)$

#2

bboybast έγραψε:Η είναι συνεχής στο .Να δειχθεί ότι $\lim_{n\rightarrow \propto }n\int_{0}^{1}{x^nf(x)dx}=f(1)$

Έστω $\epsilon >0$ . Επιλέγουμε από συνέχεια ένα $c\in (0, \,1)$ τέτοιο ώστε να ισχύει $f(1)- \epsilon < f(x) < f(1) + \epsilon$ για $x\in (c, \, 1]$ . Αν $M, \, M'$ άνω και, αντίστοιχα, κάτω φράγμα της

έχουμε

$\displaystyle{ n\int_{0}^{1}{x^nf(x)dx = n\int_{0}^{c}{x^n f(x)dx + n\int_{c}^{1}{x^n f(x)dx \le nM\int_{0}^{c}{x^n}dx+ n\int_{c}^{1}{x^n (f(1)+ \epsilon) dx }$

$\displaystyle{= \frac {nM}{n+1}c^{n+1} + \frac {n}{n+1}(1-c^{n+1}) (f(1)+ \epsilon) } \, (*)$

και όμοια

$\displaystyle{\ge \frac {nM'}{n+1}c^{n+1} + \frac {n}{n+1}(1-c^{n+1}) (f(1)- \epsilon) \, (**)}$ .

Στο όριο η (*)

τείνει στο $1\cdot M \cdot 0 + 1\cdot 1 \cdot (f(1) + \epsilon)= f(1) + \epsilon$ και όμοια η (**)

στο $f(1) - \epsilon$ . Από αυτά έπεται το ζητούμενο.

Φιλικά,

Μιχάλης

Υ.Γ.

bboybast έγραψε:Η είναι συνεχής <...>

Ορθότερα πρέπει να γράφουμε "αν η

είναι συνεχής" αντί "αν η f(x)

είναι συνεχής". Η συνάρτηση είναι η

. To

είναι τιμή της.

όριο!

όριο!

Re: όριο!

Μέλη σε σύνδεση