ολοκλήρωμα συνάρτησης που ορίζεται σε κυκλικό χωρίο

solarcon · #1

Καλησπέρα και χρόνια πολλά, καλή χρονιά με υγεία και ευημερία εύχομαι σε όλους. Παρακαλώ θέλω βοήθεια για αυτήν την άσκηση…Έχω σπάσει το κεφάλι μου και δεν μπορώ να τη λύσω. Γνωρίζω φυσικά να κάνω μετατροπή σε πολικές συντεταγμένες, και να λύνω διπλά ολοκληρώματα αλλά δεν ξέρω να τη λύσω

Τι λέει η άσκηση …

:

Δίνεται η συνάρτηση

$f(x,y)=(4-x^{^{2}})^{-\frac{y^{2}}{2}}$

που ορίζεται επάνω στο κυκλικό χωρίο

$D\left \{ (x,y) x^{2} +y^{2}\right \leq 4\}$

με κέντρο το (0,0) και ακτίνα 2. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\int \int_{D}^{.}f(x,y)dxdy$

Αρχιμήδης 6 · #2

Aγαπητέ και εγώ αυτά διαβάζω για την εξεταστική...προσπάθησε την και άλλο γιατί είναι πολύ κλασσική!
Φιλικά,
Δημήτρης

solarcon · #3

Να διευκρινίσω, αν δεν φαίνεται καθαρά, ότι στον εκθέτη της συνάρτησης είναι $-\frac{y^2}{2}$

solarcon · #4

Αρχιμήδης 6 έγραψε:Aγαπητέ και εγώ αυτά διαβάζω για την εξεταστική...προσπάθησε την και άλλο γιατί είναι πολύ κλασσική!
Φιλικά,
Δημήτρης

ναι φίλε μου μπορείς να με βάλεις λίγο σε μια γραμμή σε παρακαλώ !!!

#5

Με μια πρώτη προσπάθεια και η δική μου γνώμη είναι ότι δεν πρόκειται για στοιχειώδες ολοκλήρωμα. Μάλιστα, πιστεύω ότι, μάλλον, πρόκειται για τυπογραφικό και καλό θα ήταν ο solarcon να μας δώσει την πηγή του ολοκληρώματος αυτού. Ακολουθούν κάποιες διαπιστώσεις που με έκαναν να έχω την παραπάνω γνώμη.

Χωρίς αντικατάσταση μεταβλητών το $\displaystyle\iint_{D}{f({x,y})\,dx\,dy}=\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\!\int_{-1}^{1}{\bigl({4-x^2}\bigr)^{-\frac{y^2}{2}}\,dx\,dy}$ περνάει από τον υπολογισμό του

$\displaystyle\int_{-1}^{1}{\bigl({4-x^2}\bigr)^{-\frac{y^2}{2}}\,dx}=2^{1-y}\,_{2}{\cal{F}}_{1}\bigl({\tfrac{1}{2},\tfrac{y}{2};\tfrac{3}{2};\tfrac{1}{4}}\bigr)$ , όπου $_{2}{\cal{F}}_{1}$ η υπεργεωμετρική συνάρτηση.

Με την αλλαγή μεταβλητών $\left\{{\begin{array}{l} x=\rho\,\cos{\theta}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} y=\rho\,\sin{\theta} \end{array}}\right\}$ , $\dfrac{\partial({x,y})}{\partial({\rho,\theta})}=\rho$ , $\rho\in[{0,2}]\,, \ \theta\in[{0,2\pi}]$ , το ολοκλήρωμα που προκύπτει δεν είναι καλύτερο.

Για το $\displaystyle\iint_{D}{f({\rho,\theta})\,\rho\,d\rho\,d\theta}=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}{\bigl({4\rho^2\sin^2{\theta}}\bigr)^{-\frac{1}{2}\,\rho^2\sin^2{\theta}}\,\,\rho\,d\rho\,d\theta}$ πρέπει να περάσουμε από τον υπολογισμό του $\displaystyle\int_{0}^{2}{\bigl({4\rho^2\sin^2{\theta}}\bigr)^{-\frac{1}{2}\,\rho^2\sin^2{\theta}}\,\,\rho\,d\rho}=\int_{0}^{2}{\bigl({4\rho^2\,c}\bigr)^{-\frac{1}{2}\,\rho^2\,c}\,\,\rho\,d\rho}$ , με c>0

, για το οποίο, επίσης, υπάρχει σοβαρό πρόβλημα.

Βέβαια, δεν μπορεί να αποκλεισθεί μια έξυπνη επίλυση, αλλά δεν βλέπω μια τέτοια. Θα το ξανακοιτάξω...

solarcon · #6

μια ερώτηση ...

Ισχύει $2^{2}=x^{2}+y^{2}$

Οπότε σε πολική μορφή έχουμε $\int_{0}^{2\pi }{\int_{0}^{2}{\\\frac{r}{sqrt(4^4)}} dr\r d\theta }$

Είναι σωστή αυτή η θεώρηση...?

#7

solarcon έγραψε:μια ερώτηση ...

Ισχύει $2^{2}=x^{2}+y^{2}$

Οπότε σε πολική μορφή έχουμε $\int_{0}^{2\pi }{\int_{0}^{2}{\frac{r}{sqrt(4^4)}} dr\r d\theta }$

Είναι σωστή αυτή η θεώρηση...?

Όχι δεν είναι σωστή. Σε πολικές συντεταγμένες το ολοκλήρωμα-όπως έχω γράψει και στην προηγούμενη απάντησή μου- γίνεται $\displaystyle\iint_{D}{f({\rho,\theta})\,\rho\,d\rho\,d\theta}=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}{\bigl({4\rho^2\sin^2{\theta}}\bigr)^{-\frac{1}{2}\,\rho^2\sin^2{\theta}}\,\,\rho\,d\rho\,d\theta}$ και όχι $\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}{\frac{\rho}{\sqrt{4^4}}\,d\rho\,d\theta}$ .

Φιλικά

Υ.Γ. Ποια είναι η πηγή του ολοκληρώματος;

solarcon · #8

θα απαντήσω σύντομα..

ολοκλήρωμα συνάρτησης που ορίζεται σε κυκλικό χωρίο

ολοκλήρωμα συνάρτησης που ορίζεται σε κυκλικό χωρίο

Re: ολοκλήρωμα συνάρτησης που ορίζεται σε κυκλικό χωρίο

Re: ολοκλήρωμα συνάρτησης που ορίζεται σε κυκλικό χωρίο

Re: ολοκλήρωμα συνάρτησης που ορίζεται σε κυκλικό χωρίο

Re: ολοκλήρωμα συνάρτησης που ορίζεται σε κυκλικό χωρίο

Re: ολοκλήρωμα συνάρτησης που ορίζεται σε κυκλικό χωρίο

Re: ολοκλήρωμα συνάρτησης που ορίζεται σε κυκλικό χωρίο

Re: ολοκλήρωμα συνάρτησης που ορίζεται σε κυκλικό χωρίο

Μέλη σε σύνδεση