Ένα διπλό απ' όλα...

Ιστοσελίδα · #1

Να υπολογιστεί :
$I = \iint_D e^{\frac{x-y}{x+y}}dxdy$ αν ο τόπος

περικλείεται από τους άξονες και τις ευθείες y=1-x, y = 2-x

.

Διπλό ολοκλήρωμα

#2

: polysot.jpg (23.62 KiB) Προβλήθηκε 764 φορές

Έστω $\displaystyle{I = \iint\limits_D {{e^{\dfrac{{x - y}}{{x + y}}}}dxdy}}$ . Κάνουμε αλλαγή συντεταγμένων $\displaystyle{x = v{\text{ \& }}x + y = u}$ , επομένως $\displaystyle{x = v{\text{ \& }}y = u - v}$ . Τότε το χωρίο

μετασχηματίζεται

στο

(σχήμα) και $\displaystyle{{e^{\dfrac{{x - y}}{{x + y}}}} = {e^{\dfrac{{2v - u}}{u}}}}$ . Η Ιακωβιανή ισούται με $\displaystyle{J = 1}$ (στοιχειώδες), επομένως

$\displaystyle{I = \iint\limits_D {{e^{\dfrac{{x - y}}{{x + y}}}}dxdy} = \iint\limits_{D'} {{e^{\dfrac{{2v - u}}{u}}}dudv} = \int\limits_1^2 {\int\limits_0^u {{e^{\dfrac{{2v - u}}{u}}}dvdu} } = \frac{1}{e}\int\limits_1^2 {\left( {\int\limits_0^u {{e^{\dfrac{{2v}}{u}}}dv} } \right)du} = \frac{1}{e}\int\limits_1^2 {\frac{u}{2}\left( {{e^2} - 1} \right)du} = \frac{{3\left( {{e^2} - 1} \right)}}{{4e}}}$ .

S.E.Louridas · #3

Ας μου επιτραπεί να αναφερθώ και στην αντικατάσταση που χρησιμοποιώ για το θέμα αυτό στο ημέτερο βιβλίο.

$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x + y = v} \\ {} \\ {x - y = uv} \\ \end{array} } \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x = \frac{{v\left( {u + 1} \right)}} {2}} \\ {} \\ {y = \frac{{v\left( {1 - u} \right)}} {2}} \\ \end{array} } \right. \Rightarrow e^{\frac{{x - y}} {{x + y}}} \; = e^u ,\;\mu \varepsilon \;\frac{{D\left( {x,y} \right)}} {{D\left( {u,v} \right)}} = \left| {\begin{array}{*{20}c} {\frac{{\vartheta x}} {{\vartheta u}}} & {\frac{{\vartheta x}} {{\vartheta v}}} \\ {\frac{{\vartheta y}} {{\vartheta u}}} & {\frac{{\vartheta y}} {{\vartheta v}}} \\ \end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}c} {\frac{v} {2}} & {\frac{{u + 1}} {2}} \\ { - \frac{v} {2}} & {\frac{{1 - u}} {2}} \\ \end{array} } \right| = \frac{v} {4}>0\Rightarrow J=\frac{v}{4}...$

S.E.Louridas

Ένα διπλό απ' όλα...

Ένα διπλό απ' όλα...

Re: Ένα διπλό απ' όλα...

Re: Ένα διπλό απ' όλα...

Μέλη σε σύνδεση