Δεν υπάρχει συνάρτηση

#1

Δεν έχω ασχοληθεί (αυτό τον καιρό έχω πολύ λίγο χρόνο), αλλά την βρίσκω ενδιαφέρουσα και πολύ προκλητική:

Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ με $\left|f(x)-f(y)\right| \ge d(x,y),\ \forall x,y \in \mathbb{R}^2$ ,

όπου

είναι η Ευκλείδεια απόσταση στον $\mathbb{R}^2$

#2

Η παραπομπή που είχα βάλει αποδείκνυε κάτι διαφορετικό.

peter · #3

Να κάνω μια προσπάθεια. Η ιδέα μοιάζει με αυτή που είχαμε συζητήσει εδώ.

Θεωρούμε τα σύνολα $E_m=\{x \in \mathbb R^2 : |f(x)|\leq m\}$ για $m=1,2,\ldots$ . Τότε, από το θεώρημα του Baire υπάρχει $m\in \mathbb N$ ώστε ${\rm int}(\overline {E}_m)\neq \emptyset$ . Επεκτείνουμε την

στο $\overline{E}_m$ σε μια

διατηρώντας την επεκτατική ιδιότητα: $|F(x)-F(y)|\geq \|x-y\|_2$ για κάθε $x,y\in \overline{E}_m$ . (Π.χ. αν $x\in \overline{E}_m\setminus E_m$ τότε υπάρχει ακολουθία $(z_n^x)\subseteq E_m$ ώστε $z_n^x\to x$ . Επιπλέον, $|f(z_n^x)|\leq m$ κι από Bolzano-Weierstrass περνώντας σε μια υπακολουθία μπορούμε να υποθέσουμε ότι η (f(z_n^x))

συγκλίνει σε ένα $z_x\in [-m,m]$ . Ορίζουμε $F(x)=z_x=\lim_{n\to \infty}f(z_n^x)$ .)

Τώρα έχουμε την $F:\overline{E}_m\to [-m,m]$ ώστε $|F(x)-F(y)|\geq \|x-y\|_2$ . Εφόσον, ${\rm int}(\overline{E}_m)\neq \emptyset$ το $\overline{E}_m$ περιέχει ένα τετράγωνο, ας πούμε το $T=[a,b]\times [a,b]$ . Έστω $N\in \mathbb N$ . Διαμερίζουμε το [-m,m]

σε

ισομήκη διαστήματα πλάτους 2m/N^2

. Επίσης, διαμερίζουμε το

σε

τετράγωνα, τα οποία δίνουν (N+1)^2

σημεία (τις κορυφές τους). Από την αρχή του περιστερεώνα υπάρχουν δυο κορυφές - έστω x,y

- ώστε $|F(x)-F(y)|\leq \frac{2m}{N^2}$ . Από την άλλη μεριά $\|x-y\|_2\geq \frac{b-a}{N}$ . Αυτό δίνει αντίφαση για μεγάλα $N\in \mathbb N$ .

peter · #4

Να γράψω κι άλλη μια ιδέα, η οποία στηρίζεται στην έννοια του μέτρου: Γράφουμε $E=f(\mathbb R^2)$ και $g:E\to \mathbb R^2$ για την αντίστροφη της

, η οποία είναι 1-1, επί και 1-Lipschitz. Θεωρούμε την $s_n=1+1/2+\ldots +1/n$ και θέτουμε $E_n=E\cap (0,s_n)$ . Τέλος, θεωρούμε την ακολουθία A_1=E_1

και $A_n=E_n\setminus E_{n-1}$ για $n\geq 2$ και παρόμοια $E^-_n=E\cap (-s_n,0)$ και $A_n^-=E_n^-\setminus E^-_{n-1}$ . Τότε, τα A_n, A^-_n

είναι ξένα ανά δύο και $\bigcup_{n=1}^\infty( A^-_n\cup A_n)=E$ .

Επιπλέον, έχουμε ${\rm diam}(g(A_k)), {\rm diam}(g(A^-_k))\leq \frac{1}{k}$ , άρα κάθε g(A_k), g(A^-_k)

περιέχεται σε μια μπάλα $B_k,\, B^-_k$ αντίστοιχα, ακτίνας 1/k

. Αν συμβολίσουμε με m_2^*

το εξωτερικό μέτρο Lebesgue στον $\mathbb R^2$ , τότε παίρνουμε:

$m_2^*(g(E))\leq \sum_{k=1}^\infty m_2^*(g(A_k))+m_2^*(g(A^-_k))\leq 2 \sum_{k=1}^\infty m_2^*(B_k)$ $=\sum_{k=1}^\infty \frac{2\pi}{k^2}<+\infty$ ,

κι έχουμε αντίφαση, αφού $m_2^*(g(E))=m_2^*(\mathbb R^2)=\infty$ .

#5

peter έγραψε:Να γράψω κι άλλη μια ιδέα, η οποία στηρίζεται στην έννοια του μέτρου: Γράφουμε $E=f(\mathbb R^2)$ και $g:E\to \mathbb R^2$ για την αντίστροφη της , η οποία είναι 1-1, επί και 1-Lipschitz. Θεωρούμε την $s_n=1+1/2+\ldots +1/n$ και θέτουμε $E_n=E\cap (0,s_n)$ . Τέλος, θεωρούμε την ακολουθία και $A_n=E_n\setminus E_{n-1}$ για $n\geq 2$ και παρόμοια $E^-_n=E\cap (-s_n,0)$ και $A_n^-=E_n^-\setminus E^-_{n-1}$ . Τότε, τα είναι ξένα ανά δύο και $\bigcup_{n=1}^\infty( A^-_n\cup A_n)=E$ .

Επιπλέον, έχουμε ${\rm diam}(g(A_k)), {\rm diam}(g(A^-_k))\leq \frac{1}{k}$ , άρα κάθε περιέχεται σε μια μπάλα $B_k,\, B^-_k$ αντίστοιχα, ακτίνας . Αν συμβολίσουμε με το εξωτερικό μέτρο Lebesgue στον $\mathbb R^2$ , τότε παίρνουμε:

$m_2^*(g(E))\leq \sum_{k=1}^\infty m_2^*(g(A_k))+m_2^*(g(A^-_k))\leq 2 \sum_{k=1}^\infty m_2^*(B_k)$ $=\sum_{k=1}^\infty \frac{2\pi}{k^2}<+\infty$ ,

κι έχουμε αντίφαση, αφού $m_2^*(g(E))=m_2^*(\mathbb R^2)=\infty$ .

Αυτή η λύση αξίζει πολλά, μα πάρα πολλά

peter · #6

Αυτές οι μέθοδοι θυμίζουν πολύ αυτές που αφορούν στο Hausdorff μέτρο και τη διάσταση για τις Holder συναρτήσεις. Για παράδειγμα μπορεί να δείξει κάποιος, χρησιμοποιώντας παρόμοια κόλπα, ότι αν έχουμε μια συνάρτηση $f:[0,1]\to [0,1]\times [0,1]$ επί και $\|f(x)-f(y)\|_2\leq C|x-y|^\gamma$ για κάθε $x,y\in [0,1]$ και κάποιες σταθερές C>0

και $\gamma>0$ , τότε πρέπει να είναι $\gamma\leq 1/2$ .

Με αφορμή αυτά, μια άλλη που θυμήθηκα: Συνάρτηση στο πλέγμα.

Δεν υπάρχει συνάρτηση

Δεν υπάρχει συνάρτηση

Re: Δεν υπάρχει συνάρτηση

Re: Δεν υπάρχει συνάρτηση

Re: Δεν υπάρχει συνάρτηση

Re: Δεν υπάρχει συνάρτηση

Re: Δεν υπάρχει συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση