Eπικαμπύλιο ολοκλήρωμα

kwstas12345 · #1

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle \oint_{C} \frac{dz}{\sqrt{z^{10}+1}}$ όπου

αριστερόστροφος κύκλος ακτίνας 2, και κέντρο το

. H άσκηση προέρχεται από το Trivium του Arnold.

Ωmega Man · #2

Για μεγάλες ακτίνες $\bf R$ το ολοκλήρωμα γίνεται $\displaystyle{\bf \oint\limits_{|z|=R}\frac{1}{z^{5}}\;\texttt{d}z=0}$ , άρα και το ζητούμενο είναι ίσο με 0.

#3

Γιώργο δεν με πείθεις. Δηλαδή αν ζητούσε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{ \oint_C \frac{1}{z^3 + 1} \; dz}$ , θα έλεγες ότι για μεγάλες ακτίνες ισούται με $\displaystyle{\oint_C \frac{1}{z^3} \; dz = 0}$ ;

Ωmega Man · #4

Demetres έγραψε:Γιώργο δεν με πείθεις. Δηλαδή αν ζητούσε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{ \oint_C \frac{1}{z^3 + 1} \; dz}$ , θα έλεγες ότι για μεγάλες ακτίνες ισούται με $\displaystyle{\oint_C \frac{1}{z^3} \; dz = 0}$ ;

Μια προσπάθεια να σε πείσω λοιπόν,

Μεταφερόμαστε στην καμπύλη $\bf |z|=R$ , όπου για μεγάλες ακτίνες παρατηρούμε ότι $\bf\sqrt{z^{10}+1}\approx z^5$ . Θεωρούμε $\bf f(z)=\sqrt{z^{10}+1}$ και υποθέτουμε ότι $\bf f(z)=z^5+q(z)$ με $\displaystyle \bf \frac{q(z)}{z^5}\rightarrow 0$ όταν $\bf z\rightarrow +\infty$ . Τότε λοιπόν,
$\displaystyle{\bf \left|\;\ointctrclockwise\limits_{|z|=R}\frac{\texttt{d}z}{f(z)}\;\texttt{d}z-\ointctrclockwise\limits_{|z|=R}\frac{\texttt{d}z}{z^5}\;\right|=\left|\;\ointctrclockwise\limits_{|z|=R}\frac{q(z)}{z^5 ( z^5+q(z))}\;\texttt{d}z\;\right|\leq2\pi\max_{|z|=R}\left|\frac{q(z)}{z^5+q(z)}\right|\longrightarrow 0 }$
το οποίο σημαίνει ότι $\displaystyle{ \bf\ointctrclockwise\limits_{|z|=R}\frac{1}{f(z)}\;\texttt{d}z\longrightarrow \ointctrclockwise\limits_{|z|=R}\frac{\texttt{d}z}{z^5}=0}$ , έτσι λοιπόν και το ζητούμενο ολοκλήρωμα για ακτίνα 2 είναι ίσο με το μηδέν (επειδή είναι ομοτοπικά στο 1<|z|<R). Υπόψιν ότι όρισα τα branch cut κατά τέτοιο τρόπο, ώστε για ακτίνα μικρότερη του 1 να μοιάζουν με ένα αστέρι.
[attachment=0]cuts.gif[/attachment]

#5

Ωmega Man έγραψε: Μια προσπάθεια να σε πείσω λοιπόν,

Τώρα που το εξήγησες πράγματι είναι προφανές.

Ωmega Man · #6

Για να δούμε και ένα παρόμοιο εδώ.

kwstas12345 · #7

Ευχαριστώ, για την όμορφη λύση Γιώργο,(Ωmega Man) και το ωραίο σχήμα. Και εμένα η λύση που έκανα ήταν στο σκεπτικό , επειδή η συνάρτηση είναι αναλυτικη εκτος της καμπύλης |z|=1

, θα είναι

$\displaystyle \oint_{C}\frac{dz}{\sqrt{z^{10}+1}}=-2\pi iRes\left(f, \infty \right), f\left(z \right)=\frac{1}{\sqrt{z^{10}+1}}$ . Όμως $\displaystyle Res\left(f,\infty \right)=Res\left(-\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z} \right),0 \right)=\lim_{z\rightarrow 0}\frac{-z^3}{\sqrt{z^{10}+1}}=0$ . Άρα $\displaystyle \oint_{C} \frac{dz}{\sqrt{z^{10}+1}}=0$

Eπικαμπύλιο ολοκλήρωμα

Eπικαμπύλιο ολοκλήρωμα

Re: Eπικαμπύλιο ολοκλήρωμα

Re: Eπικαμπύλιο ολοκλήρωμα

Re: Eπικαμπύλιο ολοκλήρωμα

Re: Eπικαμπύλιο ολοκλήρωμα

Re: Eπικαμπύλιο ολοκλήρωμα

Re: Eπικαμπύλιο ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση