Μιγαδικη ανισοτητα

komi · #1

Το παρακάτω είναι μια ανισότητα η οποία προέκυψε απο την επίλυση άλλου προβλήματος .Μένει να δειχτεί εάν είναι ορθή η όχι.

Εικασία :

Εαν $\displaystyle{z \in C}$ με $\displaystyle{\left| z \right| > 1}$ και $\displaystyle{n > 2}$ να δείξετε ότι :

$\displaystyle{\left| {{z^n} - \frac{1}{{{z^n}}}} \right| \ge n \left| {z - \frac{1}{z}} \right|}$ .

#2

Νομίζω ότι δεν ισχύει, αν πχ βάλουμε z=1+i και n=3 (αν έκανα σωστά τις πράξεις)

peter · #3

Γράφουμε $z=\cos \theta+i\sin\theta$ . Άρα, $z-\frac{1}{z}=2i\sin \theta$ και αντίστοιχα $z^n-z^{-n}=2i\sin (n\theta)$ .

Οπότε, $|z^n-z^{-n}|=2|\sin n\theta|\leq 2n|\sin\theta|=n|z-z^{-1}|$ για κάθε $\theta\in \mathbb R$ και $n\geq 1$ .

Επομένως, ισχύει η αντίστροφη ανισότητα για κάθε |z|=1

και $n\in \mathbb N$ .

Υ.Γ. Η ανισότητα $|\sin nx|\leq n|\sin x|$ για κάθε $x\in \mathbb R, \; n\in \mathbb N$ αποδεικνύεται επαγωγικά.

Spribo · #4

Η άσκηση όμως λέει |z|>1

, όχι

.

peter · #5

Spribo έγραψε:Η άσκηση όμως λέει , όχι .

Συγγνώμη δεν το πρόσεξα! Eυχαριστώ Spribo.

#6

peter έγραψε:
Spribo έγραψε:Η άσκηση όμως λέει , όχι .
Συγγνώμη δεν το πρόσεξα! Eυχαριστώ Spribo.

To ωραίο παράδειγμα του peter διορθώνεται για να δείξει ότι η ανισότητα δεν ισχύει.

peter έγραψε:Γράφουμε $z=\cos \theta+i\sin\theta$ . Άρα, $z-\frac{1}{z}=2i\sin \theta$ και αντίστοιχα $z^n-z^{-n}=2i\sin (n\theta)$ .

Οπότε, $|z^n-z^{-n}|=2|\sin n\theta|\leq 2n|\sin\theta|=n|z-z^{-1}|$ για κάθε $\theta\in \mathbb R$ και $n\geq 1$ .

Επομένως, ισχύει η αντίστροφη ανισότητα για κάθε και $n\in \mathbb N$ .

Πράγματι, θέτουμε $z(\epsilon) = \epsilon + z= \epsilon +\cos \theta+i\sin\theta$ (εδώ το

του peter μετακινήθηκε λίγο: Το ε είναι θετικός και θα πάρουμε, για τεχνικούς λόγους, θ στο πρώτο τεταρτημόριο). Τώρα είναι $z(\epsilon) = \sqrt{1 + \epsilon ^2 + 2 \epsilon \cos \theta }> 1$ .

Αν τώρα για κάθε $\epsilon >0$ ίσχυε $\left |z(\epsilon)^n - z(\epsilon)^{-n}\right | > n\left |z(\epsilon) - z(\epsilon)^{-1}\right |$ , παίρνοντας όριο $\epsilon \rightarrow 0$ θα είχαμε
$\left|z^n - z^{-n}\right| \ge n\left |z - z^{-1}\right |$ , που όμως ο peter έδειξε ότι αποτυγχάνει "παταγωδώς".

Φιλικά,

Μιχαλης

Μιγαδικη ανισοτητα

Μιγαδικη ανισοτητα

Re: Μιγαδικη ανισοτητα

Re: Μιγαδικη ανισοτητα

Re: Μιγαδικη ανισοτητα

Re: Μιγαδικη ανισοτητα

Re: Μιγαδικη ανισοτητα

Μέλη σε σύνδεση