Επικαμπύλιο και διπλά ολοκληρώματα

#1

Έστω

το επίπεδο χωρίο πού ορίζεται στο πρώτο τεταρτημόριο από τις ευθείες y=x

,

, και τους κύκλους x^2+y^2=1

και

και $\gamma$ το αρνητικά προσανατολισμένο σύνορό του. Να υπολογισθούν:

α. Το εμβαδόν τού

.

β. Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα $I=\displaystyle\ointclockwise_{\gamma}{\left({x^2y+\frac{y^3}{3}}\right)dx-\left({\frac{x^3}{3}+xy^2}\right)dy}$ ,

γ. Το διπλό ολοκλήρωμα $K=\displaystyle\iint_{S}{({x^2+y^2})\Bigl({1+\frac{y^2}{x^2}}\Bigr)\,\cos\bigl({({x^2+y^2})^2}\bigr)\,dx\,dy}$ .

alex_eske · #2

grigkost έγραψε:Έστω το επίπεδο χωρίο πού ορίζεται στο πρώτο τεταρτημόριο από τις ευθείες , , και τους κύκλους και και $\gamma$ το αρνητικά προσανατολισμένο σύνορό του. Να υπολογισθούν:

α. Το εμβαδόν τού .

β. Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα $I=\displaystyle\ointclockwise_{\gamma}{\left({x^2y+\frac{y^3}{3}}\right)dx-\left({\frac{x^3}{3}+xy^2}\right)dy}$ ,

γ. Το διπλό ολοκλήρωμα $K=\displaystyle\iint_{S}{({x^2+y^2})\Bigl({1+\frac{y^2}{x^2}}\Bigr)\,\cos\bigl({({x^2+y^2})^2}\bigr)\,dx\,dy}$ .

To χωρίο S σε πολικές συντεταγμένες είναι το $S=\{(r,\theta): 1<= r<=\sqrt2, \pi/4<=\theta<=arctan(2)\}$ . Άρα:

(a) $E(S)=\iint_{S}1dxdy=\int_{\pi/4}^{arctan(2)}\int_{1}^{\sqrt2}rdrd\theta=\frac{arctan(2)-\pi/4}{2}$

(b)Από το Θεώρημα Green:
$I=-\int_{-\gamma}{\left({x^2y+\frac{y^3}{3}}\right)dx-\left({\frac{x^3}{3}+xy^2}\right)dy}=-\iint_{S}-(x^2+y^2)-x^2-y^2dxdy=2\int_{\pi/4}^{arctan(2)}\int_{1}^{\sqrt2}r^3drd\theta=2(arctan(2)-\pi/4)3/4=\frac{3(arctan(2)-\pi/4)}{2}$

(c)Πάλι με τον πολικό μετασχηματισμό:

$K=\int_{\pi/4}^{arctan(2)}\int_{1}^{\sqrt2}r^2(1+(tan\theta)^2)cos(r^4)rdrd\theta=(\int_{\pi/4}^{arctan(2)}(tan\theta)'d\theta)(\int_{1}^{\sqrt2}(sin(r^4)/4)'dr=(2-1)(sin(4)-sin(1))/4=\frac{sin(4)-sin(1)}{4}$

#3

και με μια άλλη αλλαγή μεταβλητών:

$S=\bigl\{{({x,y})\in{\mathbb{R}}^2 : 1\leq{x^2+y^2}\leq2\,, \ 0<x\leq{y}\leq2x}\bigr\}$ .

: lineiint.png (36.89 KiB) Προβλήθηκε 1208 φορές

Θεωρώντας τήν αλλαγή συντεταγμένων $\left\{{\begin{array}{l} u=x^2+y^2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} v=\dfrac{y}{x} \end{array}}\right\}$ προκύπτουν

$\displaystyle\frac{\partial({x,y})}{\partial({u,v})}=\frac{1}{\frac{\partial({u,v})}{\partial({x,y})}}=\frac{1}{2+2\,\frac{y^2}{x^2}}=\frac{1}{2\,({1+v^2})}$ και $S=\left\lbrace{({u,v})\in\mathbb{R}^2:\,1\leq{u}\leq2,\,1\leq{v}\leq2}\right\rbrace$ .

α. Επομένως το εμβαδόν του

ισούται μέ $E({S})=\displaystyle\iint_{S}{dx\,dy}=\int_{1}^{2}\int_{1}^{2}{\frac{1}{2\,({1+v^2})}\,dv\,du}=$

$\displaystyle\frac{1}{2}\,\int_{1}^{2}{\bigl[{\arctan{v}}\bigr]_{1}^{2}\,du}=\frac{1}{2}\,\int_{1}^{2}{\arctan{2}-\arctan{1}\,du}=\frac{1}{2}\,\bigl({\arctan{2}-\tfrac{\pi}{4}}\bigr)\,\bigl[{u}\bigr]_{1}^{2}=$

$\displaystyle\frac{1}{2}\,\bigl({\arctan{2}-\tfrac{\pi}{4}}\bigr)\,.\quad\square$

β. Για το χωρίο

και τις συναρτήσεις $P({x,y})=x^2y+\dfrac{y^3}{3}$ και $Q({x,y})=-\dfrac{x^3}{3}-xy^2$ πληρούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Green. Επομένως $I=\displaystyle\ointclockwise_{\gamma}{\Bigl({x^2y+\frac{y^3}{3}}\Bigr)\,dx+\Bigl({-\frac{x^3}{3}-xy^2}\Bigr)\,dy}=$

$\displaystyle-\iint_{S}{\frac{\partial}{\partial{x}}\bigl({-\tfrac{x^3}{3}-xy^2}\bigr)-\frac{\partial}{\partial{y}}\bigl({x^2y+\tfrac{y^3}{3}}\bigr)\,dx\,dy}=2\,\iint_{S}{x^2+y^2\,dx\,dy}=$

$\displaystyle2\,\int_{1}^{2}\int_{1}^{2}{\frac{u}{2\,({1+v^2})}\,dv\,du}=\int_{1}^{2}{\bigl[{\arctan{v}}\bigr]_{1}^{2}\,u\,du}=\bigl({\arctan{2}-\tfrac{\pi}{4}}\bigr)\,\Bigl({2-\frac{1}{2}}\Bigr)=$

$\displaystyle\frac{3}{2}\,\bigl({\arctan{2}-\tfrac{\pi}{4}}\bigr)\,.\quad\square$

γ. $K=\displaystyle\iint_{S}{({x^2+y^2})\Bigl({1+\frac{y^2}{x^2}}\Bigr)\,\cos\bigl({({x^2+y^2})^2}\bigr)\,dx\,dy}=$

$\displaystyle\int_{1}^{2}\int_{1}^{2}{u\,\bigl({1+v^2}\bigr)\,\cos\bigl({u^2}\bigr)\,\frac{1}{2\,({1+v^2})}\,dv\,du}=\frac{1}{2}\,\int_{1}^{2}{dv}\,\int_{1}^{2}{u\,\cos\bigl({u^2}\bigr)\,du}=$

$\displaystyle\frac{1}{2}\,\bigl[{v}\bigr]_{1}^{2}\,\frac{1}{2}\,\int_{1}^{2}{\cos\bigl({u^2}\bigr)\,d\bigl({u^2}\bigr)}=\frac{1}{4}\,({2-1})\,\bigl[{\sin\bigl({u^2}\bigr)}\bigr]_{1}^{2}=\frac{1}{4}\,({\sin4-\sin1})\,.\quad\square$

Επικαμπύλιο και διπλά ολοκληρώματα

Επικαμπύλιο και διπλά ολοκληρώματα

Re: Επικαμπύλιο και διπλά ολοκληρώματα

Re: Επικαμπύλιο και διπλά ολοκληρώματα

Μέλη σε σύνδεση