Ορισμένο ολοκλήρωμα από μακριά

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

Tolaso J Kos · #2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 25, 2023 10:06 am
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: $\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi /12}{\displaystyle\frac{{{\tan }^{2}}x-3}{3{{\tan }^{2}}-1}\,dx}.$

Τίποτα άλλο εκτός από πράξεις...

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/12} \frac{\tan^2 x -3}{3 \tan^2 x -1}\, \mathrm{d}x &= \int_{0}^{\pi/12} \frac{\tan^2 x +1 -4}{3 \tan^2 x -1}\, \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\pi/12} \frac{\tan^2 x + 1}{3 \tan^2 x -1} \, \mathrm{d}x - 4 \int_{0}^{\pi/12} \frac{\mathrm{d}x}{3 \tan^2 x -1}\\ &\!\!\!\!\!\!\!\overset{u=\tan x}{=\! =\! =\! =\! =\!} \int_{0}^{2-\sqrt{3}} \frac{\mathrm{d}u}{3 u^2-1} - 4 \int_{0}^{2-\sqrt{3}} \frac{\mathrm{d}u}{\left ( 3u^2-1 \right ) \left ( u^2+1 \right )}\\ &=\frac{1}{2\sqrt{3}} \ln \left ( \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2\sqrt{3} - 2} \right ) - \frac{\sqrt{3}}{2} \ln \left ( \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2\sqrt{3} - 2} \right ) + \frac{\pi}{12} \\ &= \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{3}\ln \left ( \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2\sqrt{3} - 2} \right ) \end{aligned}}$

Tolaso J Kos · #3

Ξανά το ίδιο θέμα εδώ ... με διαφορά κάτι μήνες.

Ορισμένο ολοκλήρωμα από μακριά

Ορισμένο ολοκλήρωμα από μακριά

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα από μακριά

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα από μακριά

Μέλη σε σύνδεση