Τοπικά και ολικά ακρότατα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}$ όπου f(x, y)=xy

και $\mathbb{D} \subseteq \mathbb{R}^2$ ο μοναδιαίος κύκλος κέντρου (0, 0)

. Βρείτε τα τοπικά και ολικά ακρότατα της

.

Από σημερινή εξέταση Απ. ΙΙΙ σε κάποιο μαθηματικό τμήμα.

#2

$f:K\subset\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}\,;\; f(x,y)=xy\,,$

ο μοναδιαίος κύκλος με κέντρο το (0,0)

. Η εικόνα f(K)

είναι η καμπύλη που είναι η τομή της επιφάνειας z=xy

με τον κύλινδρο $\big\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\;|\; x^2+y^2=1,\,z\in\mathbb{R}\big\}$ . Θέτοντας

$\left\{\begin{array}{l} x=r\cos{t}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} y=r\sin{t} \end{array}\right\}\,,\quad (r,t)\in[0,+\infty)\times[0,2\pi)\,,$
από τις παραπάνω σχέσεις $x^2+y^2=1\,,\,z=xy$ , προκύπτει ότι μια παραμετρική παράσταση της f(K)

είναι

$\overrightarrow{\gamma}:[0,2\pi)\longrightarrow\mathbb{R}^3\,,\quad \overrightarrow{\gamma}(t)=\big(\cos{t},\sin{t},\frac{1}{2}\sin(2t)\big)\,.$
Η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή της

-συνιστώσας είναι η $\frac{1}{2}$ και $-\frac{1}{2}$ , αντίστοιχα και προκύπτουν για $t=\frac{\pi}{4}\,,\,t=\frac{5\pi}{4}$ και $t=\frac{3\pi}{4}\,,\,t=\frac{7\pi}{4}$ , αντίστοιχα.
Επομένως η συνάρτηση

παρουσιάζει ολικό μέγιστο στα σημεία $\big(\cos\frac{\pi}{4},\sin\frac{\pi}{4}\big)=\big(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\big)$ , $\big(\cos\frac{5\pi}{4},\sin\frac{5\pi}{4}\big)=\big(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\big)$ κι ολικό ελάχιστο στα σημεία $\big(\cos\frac{3\pi}{4},\sin\frac{3\pi}{4}\big)=\big(\frac{-\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\big)$ , $\big(\cos\frac{7\pi}{4},\sin\frac{7\pi}{4}\big)=\big(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\big)$ .

Από την μονοτονία της $g(t)=\frac{1}{2}\sin(2t)\,, t\in[0,2\pi)$ προκύπτει ότι δεν υπάρχουν άλλα (τοπικά) ακρότατα.

: min-max_f.png (48.07 KiB) Προβλήθηκε 1212 φορές

Παρατήρηση: Προφανώς υπάρχει κι άλλος (κλασικός) τρόπος επίλυσης.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 12, 2018 6:58 pm
Έστω $f:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}$ όπου και $\mathbb{D} \subseteq \mathbb{R}^2$ ο μοναδιαίος κύκλος κέντρου . Βρείτε τα τοπικά και ολικά ακρότατα της .

Από σημερινή εξέταση Απ. ΙΙΙ σε κάποιο μαθηματικό τμήμα.

Από ότι γνωρίζω με $\mathbb{D}$ συμβολίζουμε τον μοναδιαίο δίσκο.

Δηλαδή $\mathbb{D}=\left \{ (x,y):x^{2}+y^{2} <1\right \}$

Τον μοναδιαίο κύκλο συνήθως τον συμβολίζουμε με $\mathbb{T}=\left \{ (x,y):x^{2}+y^{2}=1 \right \}$ .

Τόλη το θέμα πως ακριβώς είναι;

Tolaso J Kos · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 12, 2018 10:45 pm
Τόλη το θέμα πως ακριβώς είναι;

Σταύρο,

το θέμα είναι ακριβώς όπως ανέβηκε. Βέβαια ο διδάσκων έχει γράψει

για το κύκλο αλλά επειδή εγώ χρησιμοποιώ και για το δίσκο και για το κύκλο $\mathbb{D}$ το έδωσα έτσι. Εφόσον όμως έχω δώσει τι είναι το $\mathbb{D}$ στη συγκεκριμένη άσκηση , δε νομίζω να υπάρχει θέμα παρερμηνείας.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Αφού ξέρουμε πως ήταν το θέμα να γράψω μια στοιχειώδη λύση.

Θέλουμε μέγιστο ελάχιστο του

όταν $x^{2}+y^{2}=1$ .

Ειναι $-\dfrac{x^{2}+y^{2}}{2}\leq xy\leq \dfrac{x^{2}+y^{2}}{2}$

Οπου η αριστερή ισότητα πιάνεται όταν $x=-y=\frac{\sqrt{2}}{2},-x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$

και η δεξιά όταν $x=y=\frac{\sqrt{2}}{2},-x=-y=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Αρα η μέγιστη τιμή είναι $\frac{1}{2}$ και πιάνεται στα

$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}),(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$

και η ελάχιστη τιμή είναι $-\frac{1}{2}$ και πιάνεται στα

$(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}),(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$

Τοπικά και ολικά ακρότατα

Τοπικά και ολικά ακρότατα

Re: Τοπικά και ολικά ακρότατα

Re: Τοπικά και ολικά ακρότατα

Re: Τοπικά και ολικά ακρότατα

Re: Τοπικά και ολικά ακρότατα

Μέλη σε σύνδεση