Άθροισμα Εκθετικών Συναρτήσεων 2

#1

Με αφορμή το ερώτημα του Νίκου Μαυρογιάννη εδώ,

Δείξτε ότι αν $a_k , \, k=1, ... \,, n$ είναι διαφορετικά ανά δύο, τότε οι συναρτήσεις $e^{a_k x}, \, k=1, ... \,, n$ είναι γραμμικά ανεξάρτητες επί του $\mathbb R$ .

(Μπορεί να το έχουμε ξαναδεί. Είναι άλλωστε γνωστή άσκηση.)

#2

Για οικονομία στο γράψιμο αποδεικνύω την περίπτωση των τριών συναρτήσεων. Η γενική περίπτωση είναι ολόιδια.

Έστω $\displaystyle{A,B,C,a,b,c\in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{Ae^{ax}+Be^{bx}+Ce^{cx}=0~~\forall x.}$ Θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle{A=B=C=0.}$

Παραγωγίζοντας τη σχέση αυτή δύο φορές, δημιουργείται το σύστημα των $\displaystyle{Ae^{ax},Be^{bx},Ce^{cx}}$

$\displaystyle{\begin{cases}Ae^{ax}+Be^{bx}+Ce^{cx}=0, \\ Aae^{ax}+Bbe^{bx}+Cce^{cx}=0, \\ Aa^2e^{ax}+Bb^2e^{bx}+Cc^2e^{cx}=0\end{cases}.}$

Αυτό είναι ομογενές με ορίζουσα

$\displaystyle{\begin{vmatrix}1&1&1 \\ a&b&c \\ a^2 &b^2 &c^2\end{vmatrix}=(a-b)(b-c)(c-a)}$

Επειδή $\displaystyle{a\ne b\ne c\ne a,}$ η ορίζουσα είναι $\displaystyle{\ne 0.}$

Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση τη μηδενική, δηλαδή $\displaystyle{A=B=C=0.}$

#3

Δίνω μια αλγεβρική λύση.
Ας υποθέσουμε ότι είναι γραμμικώς εξαρτημένες και ότι υπάρχουν στσθερές c_i

όχι όλες μηδέν ώστε:
$\sum\limits_{i=1}^{n}c_{i}e^{a_{i}x}=0$
για κάθε

.
Δίνουμε στο

τις τιμές

και βρίσκουμε ότι το ομογενές σύστημα:
$\displaystyle \left. \begin{array}{l} 1 \cdot {c_1} + ... + 1 \cdot {c_n} = 0\\ {e^{{a_1}}}{c_1} + ... + {e^{{a_n}}}{c_n} = 0\\ ...\\ {\left( {{e^{{\alpha _1}}}} \right)^{n - 1}}{c_1} + ... + {\left( {{e^{{\alpha _n}}}} \right)^{n - 1}}{c_n} = 0 \end{array} \right\}$
έχει μη μηδενική λύση $(c_{1},...,c_{n}$ .
'Αρα η ορίζουσα του είναι μηδέν
Συμβαίνει η ορίζουσα να είναι η ορίζουσα Vandermonde στα $\displaystyle {e^{{a_1}}},...,{e^{{a_n}}}$ . Αφού είναι μηδέν σημαίνει ότι κάποια από τις διαφορές
$\displaystyle {e^{{a_i}}} - {e^{{a_j}}}$ είναι μηδέν για $i \neq j$ και για αυτά θα είναι $a_{i}=a_{j}$ πράγμα αδύνατο.

Μαυρογιάννης

edit Με πρόλαβε ο θάνος. Το αφήνω για τον κόπο της πληκτρολόγησης.

#4

Διαφορετικά:

Ας υποθέσουμε ότι $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$ και

$\displaystyle A_1e^{a_1x} + \cdots + A_ne^{a_nx} = 0$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Πολλαπλασιάζω με $e^{-a_nx}$ για να πάρω

$\displaystyle A_1e^{(a_1-a_n)x} + \cdots + A_{n-1}e^{(a_{n-1} - a_n)x} + A_n = 0$

Παίρνοντας όρια όταν $x \to +\infty$ παίρνουμε A_n = 0

. Επαγωγικά παίρνουμε $A_1 = \cdots = A_n = 0$ .

#5

Ξέρω διάφορες αποδείξεις. Ας δούμε και μία επαγωγική (τα κύρια βήματα):

Για το επαγωγικό βήμα, έστω $\displaystyle{A_1e^{a_1x} + ... + A_{n+1}e^{a_{n+1}x}=0}$ .

Διαιρούμε με το $\displaystyle{e^{a_1x}}$ . Τώρα ο πρώτος προσθετέος είναι σκέτος αριθμός, και οι νέοι εκθέτες παραμένουν διαφορετικοί ανά δύο.

Παραγωγίζουμε, οπότε βρίσκουμε

$\displaystyle{(a_2-a_1)A_2e^{(a_2-a_1)x} + ... + (a_{n+1}-a_1)A_{n+1}e^{(a_{n+1}-a_1)x}=0}$

Αυτό είναι της ίδιας μορφής, αλλά με έναν προσθετέο λιγότερο. Εφαρμόζουμε τώρα την επαγωγική υπόθεση. Και λοιπά.

Άθροισμα Εκθετικών Συναρτήσεων 2

Άθροισμα Εκθετικών Συναρτήσεων 2

Re: Άθροισμα Εκθετικών Συναρτήσεων 2

Re: Άθροισμα Εκθετικών Συναρτήσεων 2

Re: Άθροισμα Εκθετικών Συναρτήσεων 2

Re: Άθροισμα Εκθετικών Συναρτήσεων 2

Μέλη σε σύνδεση