Πρόβλημα Ακολουθίας

giwrgosswt · #1

Γεια σας! Επινόησα ένα πρόβλημα το οποίο δε γνωρίζω αν είναι γελοίο, απλό ή ενδιαφέρον μιας και το έθεσα αποκλειστικά στο στενό μου περίγυρο και δεν έχω την εμπειρία να αξιολογήσω το πρόβλημα (φέτος αποφοιτώ από το Λύκειο). Ελπίζω η διατύπωση του προβλήματος να είναι σαφής. Λοιπόν:

Έστω η μη σταθερή ακολουθία a_n

για την οποία το a_n

είναι αριθμητικός μέσος του $a_{n+1}$ και του $a_{n-2}$ . Να ορίσετε αναδρομικά την ακολουθία εκφράζοντας το a_n

συναρτήσει του $a_{n-1}$ και του $a_{n-2}$ . Τα a_1

και

προφανώς τα επιλέγετε αυθαίρετα.

Σημείωσεις:
1)Όποιος το λύσει παρακαλώ να το αξιολογήσει ως προς τη δυσκολία.
2)Αν έβαλα το πρόβλημα σε λάθος σημείο στο φόρουμ με συγχωρείτε.

#2

giwrgosswt έγραψε:Γεια σας! Επινόησα ένα πρόβλημα το οποίο δε γνωρίζω αν είναι γελοίο, απλό ή ενδιαφέρον μιας και το έθεσα αποκλειστικά στο στενό μου περίγυρο και δεν έχω την εμπειρία να αξιολογήσω το πρόβλημα (φέτος αποφοιτώ από το Λύκειο). Ελπίζω η διατύπωση του προβλήματος να είναι σαφής. Λοιπόν:

Έστω η μη σταθερή ακολουθία για την οποία το είναι αριθμητικός μέσος του $a_{n+1}$ και του $a_{n-2}$ . Να ορίσετε αναδρομικά την ακολουθία εκφράζοντας το συναρτήσει του $a_{n-1}$ και του $a_{n-2}$ . Τα και προφανώς τα επιλέγετε αυθαίρετα.

Σημείωσεις:
1)Όποιος το λύσει παρακαλώ να το αξιολογήσει ως προς τη δυσκολία.
2)Αν έβαλα το πρόβλημα σε λάθος σημείο στο φόρουμ με συγχωρείτε.

Από τα δεδομένα έχουμε $2a_n=a_{n+1}+a_{n-2} \Leftrightarrow a_n+a_{n-1}-a_{n+1}=a_{n-1}+a_{n-2}-a_n \ \ (1)$

Οπότε αν ορίσουμε $b_n=a_n+a_{n-1}-a_{n+1}$ τότε η (1)

δίνει $b_n=b_{n-1}$ κι έτσι η ακολουθία b_n

είναι σταθερή.

Συνεπώς b_n=c

όπου ο

είναι γνωστός και προσδιορίζεται από τις αρχικές συνθήκες του προβλήματος.

Συνεπώς $a_n+a_{n-1}-a_{n+1}=c$ άρα (βάζοντας όπου

το

) $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}-c$ που είναι και το ζητούμενο.

Αλέξανδρος

giwrgosswt · #3

Ευχαριστώ πολύ για το χρόνο σας. Την άσκηση όπως καταλάβατε ίσως την εμπνεύστηκα από την ακολουθία Fibonacci.

Πρόβλημα Ακολουθίας

Πρόβλημα Ακολουθίας

Re: Πρόβλημα Ακολουθίας

Re: Πρόβλημα Ακολουθίας

Μέλη σε σύνδεση