ΘΕΜΑ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

S.E.Louridas · #1

A. E. I.

Θεωρούμε συνάρτηση
$f:\mathbb{R} \to \left[ {0, + \infty } \right),$ τέτοια που για κάθε θετικό αριθμό ε (ε>0) το σύνολο
$F_\varepsilon = \left\{ {x:x \in \mathbb{R} \wedge f\left( x \right) \geqslant \varepsilon } \right\}$ να είναι πεπερασμένο.
Να αποδειχθεί ότι : Αν
$I \subseteq \mathbb{R}$ τυχόν ανοικτό διάστημα ,υπάρχει τουλάχιστον ένας πραγματικός αριθμός
$\xi \in I:f\left( \xi \right) = 0.$

S.E.Louridas

#2

S.E.Louridas έγραψε:A. E. I.

Θεωρούμε συνάρτηση
$f:\mathbb{R} \to \left[ {0, + \infty } \right),$ τέτοια που για κάθε θετικό αριθμό ε (ε>0) το σύνολο
$F_\varepsilon = \left\{ {x:x \in \mathbb{R} \wedge f\left( x \right) \geqslant \varepsilon } \right\}$ να είναι πεπερασμένο.
Να αποδειχθεί ότι : Αν
$I \subseteq \mathbb{R}$ τυχόν ανοικτό διάστημα ,υπάρχει τουλάχιστον ένας πραγματικός αριθμός
$\xi \in I:f\left( \xi \right) = 0.$

S.E.Louridas

Πολύ ενδιαφέρον.

Υπόδειξη: Για n =1, 2, 3, ... ορίζουμε
$A_n = \{x / f(x) \ge 1/n \}$ .
Τα A_n

είναι εξ υποθέσεως πεπερασμένα, άρα η ένωσή τους αριθμήσιμη.
Το ανοικτό $I \subseteq \mathbb{R}$ είναι μη άριθμήσιμο άρα υπάρχει x στο

έξω από την παραπάνω ένωση.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Ορίζουμε

S.E.Louridas · #3

Λύση στον ρυθμό του κιβωτισμού

Θεωρούμε ,πλέον Ι ένα ανοικτό διάστημα. Στον τυχόντα φυσικό n έχουμε το αντίστοιχο σύνολο
$S_n = \left\{ {x:x \in \mathbb{R} \wedge f\left( x \right) \geqslant \frac{1} {n}} \right\}:Card\left( {S_n } \right) \in \mathbb{N}.$ Από την τελευταία αυτή σχέση και για το σύνολο
$S_1 ,\exists x_1 ,y_1 \in I \wedge x_1 < y_1 :\left[ {x_1 ,y_1 } \right] \cap S_1 = \emptyset ,$ όμοια για το σύνολο
$S_2 ,\exists x_2 ,y_2 \in \left[ {x_1 ,y_1 } \right] \wedge x_2 < y_2 :\left[ {x_2 ,y_2 } \right] \cap S_2 \equiv \emptyset ,$ οπότε κατά τον τρόπο αυτό
κατασκευάζουμε (μέθοδος επαγωγικής κατασκευής δηλ. κατασκευής ακολουθίας από στοιχεία συνόλου με την έννοια ότι αν έχει κατασκευαστεί το στοιχείο της
a_n

,με την ίδια διαδικασία να μπορεί να κατασκευάζεται και το
$a_{n + 1}$ ) μία ακολουθία διαστημάτων
$\left[ {x_n ,y_n } \right],n = 1,2,...$ ώστε να σχηματίζει κιβωτισμό δηλ.
$x_n < x_{n + 1} < y_{n + 1} < y_n ,\forall n = 1,2,...\left( * \right)$ και τελικά με την ιδιότητα:
$f\left( x \right) < \frac{1} {n},\forall n = 1,2,... \wedge \forall x \in \left[ {x_n ,y_n } \right].....\left( { * * } \right).$ Έτσι η ακολουθία
$x_n \varepsilon \iota \nu \alpha \iota \uparrow \wedge x_n < y_1 \left( {\varphi \rho \alpha \gamma \mu \varepsilon \nu \eta } \right) \Rightarrow \lim x_n = \ell _1 ,$ ομοίως η ακολουθία
$y_n \varepsilon \iota \nu \alpha \iota \downarrow \wedge x_1 < y_n \left( {\varphi \rho \alpha \gamma \mu \varepsilon \nu \eta } \right) \Rightarrow \lim y_n = \ell _2 \Rightarrow \ell _1 \leqslant \ell _2 .$ Αν
$\ell _1 = \ell _2 = \xi$ ,τότε θα είχαμε:
$0 \leqslant f\left( \xi \right) < \frac{1} {n},\forall n = 1,2,... \Rightarrow f\left( \xi \right) = 0.$ Αν
$\ell _1 < \ell _2 ,$ τότε από τις σχέσεις (*),(**) για
$\xi \in \left[ {\ell _1 ,\ell _2 } \right] \Rightarrow 0 \leqslant f\left( \xi \right) < 0,\forall n = 1,2,... \Rightarrow f\left( \xi \right) = 0.$ Τελικά αν θεωρήσουμε F το σύνολο των ανοικτών διαστημάτων του
$\mathbb{R},\iota \sigma \chi \upsilon \varepsilon \iota :\forall {\rm I} \in F,\exists \xi \in {\rm I}:f\left( \xi \right) = 0.$
Παρατήρηση: Αν
$\left( {\varepsilon > 0} \right)\kappa \alpha \iota \left( {r \in \mathbb{R}:f\left( r \right) = 0} \right) \Rightarrow Card\left\{ {x \in \mathbb{R}/f\left( x \right) \geqslant \varepsilon } \right\} \in \mathbb{N} \wedge r \notin \left\{ {x \in \mathbb{R}/f\left( x \right) \geqslant \varepsilon } \right\}.$
Επομένως υπάρχει ανοικτό διάστημα I στο οποίο να ανήκει το r :
$\forall x \in {\rm I},\left| {f\left( x \right) - f\left( r \right)} \right| < \varepsilon ,$ που σημαίνει ότι η f είναι συνεχής στην θέση r (αφού ισχύει τελικά για κάθε θετικό ε).

S.E.Louridas

ΘΕΜΑ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Re: ΘΕΜΑ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Re: ΘΕΜΑ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Μέλη σε σύνδεση