Σταθερά σημεία

#1

: Σταθερά σημεία.png (13.78 KiB) Προβλήθηκε 1772 φορές

Δίδεται σταθερός κύκλος $\left( {O,R} \right)$ και σταθερό σημείο

εκτός αυτού , έστω δε μεταβλητή διάμετρος του ,

.

Ας είναι $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N$ τα άλλα σημεία τομής των $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ με τον κύκλο . Να δειχθεί ότι:

α) Η

διέρχεται δια σταθερού σημείου και

β) Ο κύκλος $\left( {A,M,N} \right)$ διέρχεται δια σταθερού σημείου .

24 ώρες για μαθητές και για μέλη που έχουν εγγραφεί το φετινό καλοκαίρι στο

Μετά για όλους .

#2

Επαναφορά . Δεκτή κάθε λύση. Απο τώρα κι έπειτα η άσκηση είναι για όλους .

giannimani · #3

(a) Έστω $(BN) \,\cap \,(CM) =X$ . Τότε, στο τρίγωνο XBA

το

είναι το ορθόκεντρο. Αν $H= (BC)\cap (AX)$ ,
τότε $BH \bot AX$ . Έστω $R_{1}$ το σημείο τομής της εφαπτομένης του κύκλου (O)

στο σημείο

με την

.
Είναι $\angle R_{1}NC=\angle NBC=90^{\circ}-\angle NCB=90^{\circ}-\angle ACH =\angle R_{1}AC$ . Ως εκ τούτου $R_{1}N=R_{1}A$ , δηλαδή, στο ορθογώνιο τρίγωνο ANX

το $R_{1}$ είναι το μέσο της υποτείνουσας

.

Όμοια, αν $R_{2}$ το σημείο τομής της εφαπτομένης του κύκλου (O)

στο σημείο

με την

, τότε
$\angle R_{2}MC=\angle MBC=90^{\circ}-\angle BCM=90^{\circ}-\angle HCX=\angle R_{2}XM$ , δηλαδή, $R_{2}A=R_{2}X$ , οπότε στο ορθογώνιο
τρίγωνο AMX

το $R_{2}$ είναι το μέσο της υποτείνουσας

.
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι $R_{1}\equiv R_{2}\equiv R$ , όπου

το μέσο του

.

Εφόσον RN=RM=RA

, το

ανήκει στον ριζικό άξονα του σημείου

και του κύκλου (O)

, ο οποίος ως γνωστόν είναι η ευθεία που
διέρχεται από τα μέσα

,

των μέσα των εφαπτόμενων τμημάτων

,

που άγονται από το σημείο

στον κύκλο (O)

.

: constant.png (106.4 KiB) Προβλήθηκε 1527 φορές

Η ευθεία

διέρχεται, ως γνωστόν (*)

από το σημείο

και $DE \bot OA$ , οπότε και $RL \bot OA$ .

Έστω $S= (MN) \cap (OA)$ . Είναι γνωστό ότι η ευθεία

είναι η πολική του

. Εφόσον το

ανήκει
στην πολική του

, τότε το

ανήκει στην πολική του

, και από τον ορισμό της πολικής (ευθεία κάθετη στην

) προκύπτει
ότι η πολική του

είναι ο ριζικός άξονας του σημείου

και του κύκλου (O)

, που είναι σταθερή ευθεία. Επομένως, και το

είναι
σταθερό σημείο.

(b) Έστω $(ED) \cap (OA) = Z$ . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου AMN

προφανώς διέρχεται από το

( $\angle ANX=\angle AMX= 90^{\circ}$ ), και έχει κέντρο το σημείο

. Εφόσον $\angle AZX=90^{\circ}$ , τότε και το

ανήκει στον κύκλο (AMN)

.
Το

είναι σταθερό σημείο.

(*)

Ισχύει το εξής θεώρημα:
Το τετράπλευρο BMCD

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $\omega$ . Έστω ότι οι ευθείες των πλευρών

και

τέμνονται
στο σημείο

, οι ευθείες των πλευρών

και

στο σημείο

, και οι διαγώνιες

,

στο σημείο

.
Έστω

και

τα σημεία επαφής του κύκλου $\omega$ με τις εφαπτομένες που άγονται από το σημείο

σε αυτόν.
Τότε, τα σημεία

,

ανήκουν στην ίδια ευθεία.

#4

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 14, 2022 11:18 am
Σταθερά σημεία.png
Δίδεται σταθερός κύκλος $\left( {O,R} \right)$ και σταθερό σημείο εκτός αυτού , έστω δε μεταβλητή διάμετρος του , .

Ας είναι $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N$ τα άλλα σημεία τομής των $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ με τον κύκλο . Να δειχθεί ότι:

α) Η διέρχεται δια σταθερού σημείου και

β) Ο κύκλος $\left( {A,M,N} \right)$ διέρχεται δια σταθερού σημείου .

24 ώρες για μαθητές και για μέλη που έχουν εγγραφεί το φετινό καλοκαίρι στο

Μετά για όλους .

α) Τα σταθερά σε πρώτη ματιά είναι , ο κύκλος κέντρου

και το σημείο

.

Ας είναι

το σημείο τομής των $BN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MC$ . Η πολική του

ως προς τον κύκλο $\left( O \right)$ είναι σταθερή ευθεία διερχομένη από το μη σταθερό σημείο

και από το μη σταθερό σημείο τομής

των $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MN$ , αλλά είναι σταθερή γιατί είναι κάθετη στη σταθερή

.

: Σταθερά σημεία_a ερώτημα.png (24.39 KiB) Προβλήθηκε 1480 φορές

Έτσι το σημείο τομής

των σταθερών καθέτων ευθειών : $OA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FS$ είναι σταθερό . Ας είναι

το σημείο τομής των ευθειών : $\overline {FSK} \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overline {AMB}$ .

Η δέσμη $F(A,D\backslash M,B)$ είναι αρμονική και άρα η τετράδα $(A,D\backslash M,B)$ είναι αρμονική.

Τώρα και η δέσμη $S(A,D\backslash M,B)$ είναι αρμονική με άμεση συνέπεια και η δέσμη :

$S\left( {A,K\backslash T,O} \right)$ είναι αρμονική , με

το σημείο τομής της μεταβλητής

με τη σταθερή

.

Συνεπώς το σημείο

είναι σταθερό αφού τα A,K,O

είναι σταθερά . Άρα το

διέρχεται από το σταθερό

για το οποίο:

$\boxed{\frac{{KT}}{{KO}} = \frac{{AT}}{{AO}}}$

β)

: Σταθερά σημεία_b ερώτημα.png (38.16 KiB) Προβλήθηκε 1480 φορές

Προφανές ότι τα τετράπλευρα : $FNKA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FKMA$ είναι εγγράψιμα αφού η

φαίνεται από τα N,K,M

υπό ορθή γωνία .

Έτσι τα πέντε σημεία : F,N,K,M,A

ανήκουν στον μεταβλητό κύκλο διαμέτρου

αλλά διέρχεται από το σταθερό σημείο $K \ne A$ .

Η άσκηση είναι (άλυτη) στο βιβλίο : Γεωμετρία του υποψηφίου έκδοση στη σελίδα και είναι η υπ’ αρ. του ΑΓΓΕΛΟΥ ΚΟΥΡΚΟΥΛΟΥ .

#5

Να πούμε ότι το συμπέρασμα ισχύει για οποιαδήποτε χορδή

που διέρχεται από σταθερό σημείο, και, ακόμα, κι για τον κύκλο ABC

.

Σταθερά σημεία

Σταθερά σημεία

Re: Σταθερά σημεία

Re: Σταθερά σημεία

Re: Σταθερά σημεία

Re: Σταθερά σημεία

Μέλη σε σύνδεση