Εμβαδόν εξαγώνου

#1

: Εμβαδόν εξαγώνου.png (16.77 KiB) Προβλήθηκε 1875 φορές

Από καθένα από τα μέσα των πλευρών οξυγώνιου τριγώνου ABC

φέρνουμε κάθετες στις άλλες δύο πλευρές

σχηματίζοντας το εξάγωνο KLMNPQ

που φαίνεται στο σχήμα. Να δείξετε ότι $(KLMNPQ)=\dfrac{1}{2}(ABC).$

Μέχρι τη νίκη του Ολυμπιακού στην Τούμπα!

(Έχετε σίγουρα 27 ώρες... που μπορεί να φτάσουν μέχρι $\displaystyle \color{blue} + \infty$ )

#2

Δυστυχώς τα πράγματα δεν ήρθαν όπως τα είχα σχεδιάσει

Έτσι, μετά την ήττα του Ολυμπιακού στην Τούμπα, η άσκηση είναι ελεύθερη για όλους!

Math Rider · #3

: Εμβαδόν εξαγώνου.png (28.68 KiB) Προβλήθηκε 1758 φορές

Έστω

το ορθόκεντρο του τριγώνου PMK

. Τα τετράπλευρα PNMH

,

και

είναι παραλληλόγραμμα.
(Οι απέναντι πλευρές τους είναι κάθετες σε παράλληλες ευθείες)
Επομένως (KLMNPQ)= (PNMH)+ (MLKH)+ (KQPH)= 2(HPM) + 2(HMK) +2(HKP)=

$2(PMK)=2\cdot\dfrac{1}{4}(ABC)=\dfrac{1}{2}(ABC)$ .

Xriiiiistos · #4

Μια λύση χωρίς τα έξτρα ύψη είναι τα τρίγωνο PMK,ABC

είναι όμοιο με λόγο ομοιότητας $\frac{1}{2}$ άρα $\frac{(PMK)}{(ABC)}=\frac{1}{4}$ . APM,MKC,PKB

ίσα με

ta αντίστοιχα ορθόκεντρά τους. Και τώρα έχουμε KM=AP,AN=ML,NP=LK

άρα

και ομοίως MNA=PGK

κτλ.

#5

Άλλη μία στο ίδιο μήκος κύματος με του Math Rider.

: Εμβαδόν εξαγώνου.ΙΙ.png (20.26 KiB) Προβλήθηκε 1647 φορές

Αν

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC

, τότε τα

είναι παραλληλόγραμμα.

$\displaystyle (KLMNPQ) = (HQKL) + (HLMN) + (HNPQ) = \frac{1}{2}[(HBC) + (HCA) + (HAB)] \Leftrightarrow$

$\boxed{KLMNPQ)=\frac{1}{2}(ABC)}$

Εμβαδόν εξαγώνου

Εμβαδόν εξαγώνου

Re: Εμβαδόν εξαγώνου

Re: Εμβαδόν εξαγώνου

Re: Εμβαδόν εξαγώνου

Re: Εμβαδόν εξαγώνου

Μέλη σε σύνδεση