Δυνάμεις - Α' Γυμνασίου

Κατερινόπουλος Νικόλας · #1

Να βρείτε την τιμή της παράστασης:

$2^{2010}-(2^{2009}+2^{2008}+2^{2007}+...+2^{2}+2+1)$

Για μαθητές μέχρι και Α' Λυκείου μέχρι 17/4

Κατερινόπουλος Νικόλας · #2

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Να βρείτε την τιμή της παράστασης:

$2^{2010}-(2^{2009}+2^{2008}+2^{2007}+...+2^{2}+2+1)$

Για μαθητές μέχρι και Α' Λυκείου μέχρι

Επαναφορά!

#3

Νίκο, Χρόνια Πολλά.

Η προτεινόμενη άσκηση είναι πολύ δύσκολο να αντιμετωπιστεί από μαθητές Α Γυμνασίου.

Προτείνω να την επιχειρήσουν μαθητές μέχρι και Α Λυκείου.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Νίκο, Χρόνια Πολλά.

Η προτεινόμενη άσκηση είναι πολύ δύσκολο να αντιμετωπιστεί από μαθητές Α Γυμνασίου.

Προτείνω να την επιχειρήσουν μαθητές μέχρι και Α' Λυκείου.

Κύριε Δημήτρη, χρόνια πολλά! Εσείς ξέρετε το κατάλληλο επίπεδο!!!

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #5

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Να βρείτε την τιμή της παράστασης:

$2^{2010}-(2^{2009}+2^{2008}+2^{2007}+...+2^{2}+2+1)$

Αφού η προθεσμία έληξε... για να κλείνει:

$2^{2010}-(2^{2009}+2^{2008}+2^{2007}+...+2^{2}+2+1) =$
$2^{2010}-2^{2009} -(2^{2008}+2^{2007}+...+2^{2}+2+1) =$
$2^{2009}(2-1)-(2^{2008}+2^{2007}+...+2^{2}+2+1) =$
$2^{2009}-(2^{2008}+2^{2007}+...+2^{2}+2+1)$

Με τον ίδιο τρόπο φτάνουμε στο:

$2^{2008}-(2^{2007}+...+2^{2}+2+1)$

και τελικά:

$2^1-1 = \boxed{1}$

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #6

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Να βρείτε την τιμή της παράστασης:

$2^{2010}-(2^{2009}+2^{2008}+2^{2007}+ \ldots +2^{2}+2+1)$

Η άσκηση γενικεύεται:

$\boxed{2^n - (2^{n-1} + 2^{n-2}+ \ldots + 2+1) =1}$

Μια άλλη προσέγγιση:

Αν δουλέψουμε στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης τότε έχουμε:

$LHS = \underbrace{\overline{1000\dots0}}_{n+1} - (\underbrace{\overline{100\dots0}}_{n}+\underbrace{\overline{10\dots0}}_{n-1}+\ldots+10+1) =$ $\underbrace{\overline{1000\dots0}}_{n+1} - \underbrace{\overline{111\dots1}}_{n}=1$

Κατερινόπουλος Νικόλας · #7

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Να βρείτε την τιμή της παράστασης:

$2^{2010}-(2^{2009}+2^{2008}+2^{2007}+ \ldots +2^{2}+2+1)$

Η άσκηση γενικεύεται:

$\boxed{2^n - (2^{n-1} + 2^{n-2}+ \ldots + 2+1) =1}$

Μια άλλη προσέγγιση:

Αν δουλέψουμε στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης τότε έχουμε:

$LHS = \underbrace{\overline{1000\dots0}}_{n+1} - (\underbrace{\overline{100\dots0}}_{n}+\underbrace{\overline{10\dots0}}_{n-1}+\ldots+10+1) =$ $\underbrace{\overline{1000\dots0}}_{n+1} - \underbrace{\overline{111\dots1}}_{n}=1$

Κατερινόπουλος Νικόλας · #8

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Να βρείτε την τιμή της παράστασης:

$2^{2010}-(2^{2009}+2^{2008}+2^{2007}+...+2^{2}+2+1)$
Αφού η προθεσμία έληξε... για να κλείνει:

$2^{2010}-(2^{2009}+2^{2008}+2^{2007}+...+2^{2}+2+1) =$
$2^{2010}-2^{2009} -(2^{2008}+2^{2007}+...+2^{2}+2+1) =$
$2^{2009}(2-1)-(2^{2008}+2^{2007}+...+2^{2}+2+1) =$
$2^{2009}-(2^{2008}+2^{2007}+...+2^{2}+2+1)$

Με τον ίδιο τρόπο φτάνουμε στο:

$2^{2008}-(2^{2007}+...+2^{2}+2+1)$

και τελικά:

$2^1-1 = \boxed{1}$

#9

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Να βρείτε την τιμή της παράστασης:

$2^{2010}-(2^{2009}+2^{2008}+2^{2007}+ \ldots +2^{2}+2+1)$

Η άσκηση γενικεύεται:

$\boxed{2^n - (2^{n-1} + 2^{n-2}+ \ldots + 2+1) =1}$

Μια άλλη προσέγγιση:

Αν δουλέψουμε στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης τότε έχουμε:

$LHS = \underbrace{\overline{1000\dots0}}_{n+1} - (\underbrace{\overline{100\dots0}}_{n}+\underbrace{\overline{10\dots0}}_{n-1}+\ldots+10+1) =$ $\underbrace{\overline{1000\dots0}}_{n+1} - \underbrace{\overline{111\dots1}}_{n}=1$

Διονύση, πράγματι ωραία σκέψη!!!

Δυνάμεις - Α' Γυμνασίου

Δυνάμεις - Α' Γυμνασίου

Re: Δυνάμεις - Α' Γυμνασίου

Re: Δυνάμεις - Α' Γυμνασίου

Re: Δυνάμεις - Α' Γυμνασίου

Re: Δυνάμεις - Α' Γυμνασίου

Re: Δυνάμεις - Α' Γυμνασίου

Re: Δυνάμεις - Α' Γυμνασίου

Re: Δυνάμεις - Α' Γυμνασίου

Re: Δυνάμεις - Α' Γυμνασίου

Μέλη σε σύνδεση