Μέγιστη απόκλιση

KARKAR · #1

: Μέγιστη απόκλιση.png (11.18 KiB) Προβλήθηκε 524 φορές

Σημείο

κινείται στην έλλειψη : $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ , στο πρώτο τεταρτημόριο .

Η κάθετη στην εφαπτομένη της έλλειψης στο

τέμνει τον x'x

στο σημείο

.

Υπολογίστε την μέγιστη εφαπτομένη της γωνίας $\theta , ( \theta =\widehat{OST})$ .

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Έστω λίγο γενικότερα $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ η εξίσωση της έλλειψης με a>b>0

Έστω

, λόγω συμμετρίας μπορούμε περιοριστούμε στην περίπτωση $x_o,y_o\ge0$
Το $\theta$ είναι η γωνία των διανυσμάτων $\vec{u}=\{x_o,y_o\}$ και $\vec{w}=\{\dfrac{x_o}{a^2},\dfrac{y_o}{b^2}\}$
Επειδή $\vec{u}\cdot \vec{w}=1$ είναι $\cos\theta=\dfrac{1}{|\vec{u}|\cdot |\vec{w}|}>0$ άρα η $\theta$ είναι οξεία επομένως $\tan\theta\ge0$
Είναι $1+\tan^2{\theta} = \dfrac{1}{ \cos^2 \theta }$ $=...=-\dfrac{1}{b^2a^2}(U+b^2)(U-a^2)$ (*)

όπου $U=(1-\dfrac{b^2}{a^2})x_o^2\ge0$

Το ημιάθροισμα των ριζών του

τριωνύμου

είναι ίσο με $\dfrac{a^2-b^2}{2}>0$
Αφού $U\ge0$ το (*)

μεγιστοποιείται όταν το

γίνει ίσο με το προαναφερθέν ημιάθροισμα
οπότε $(1-\dfrac{b^2}{a^2})x_o^2=\dfrac{a^2-b^2}{2}$
και εν τέλει $x_o=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$ , $y_o=\dfrac{b}{\sqrt{2}}$
Με λίγες πράξεις εν τέλει λαμβάνουμε $\min\{\tan\theta\}=\dfrac{a^2-b^2}{2ab}$

Για τις δεδομένες τιμές των a,b

η μέγιστη εφαπτομένη είναι $\dfrac{9}{40}$

Μέγιστη απόκλιση

Μέγιστη απόκλιση

Re: Μέγιστη απόκλιση

Μέλη σε σύνδεση